Линейным дифф ур-м второго порядка наз-я ур вида A0(x)y”+A1(x)y’+A2(x)y+B(x)=0 где A0(x),A1(x),A2(x),B(x) – заданные ф-и, опр и н непр на Е.
A0(x) не равно 0 на Е по лин дифф ур-е второго порядка можно переписать в виде
y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) (1) где p(x)=A1(x)/A0(x)
q(x)=A2(x)/A0(x)
f(x)/B(x)/A0(x)
Ур-е вида (1) наз-я линейным дифф ур-м второго порядка нормального вида. Если в ур-и (1) f(x)=0 на Е то ур-е наз-я линейным однородным дифф ур-м 2-го порядка в противном случае – линейным неоднородным.
1)Если ф-я у-фи(х) – решение дифф ур-я (1) то и ф-я у=Сфи(х) также явл-я решением ур-я (1)
2)если у=фи1(х) и у=фи2(х) – решение ур-я (1) то ф-я у=фи1(х)+фи2(х) также явл-я решением ур-я (1)
3)если ф-я у=фи1(х) и у=фи2(х) явл-я решением ур-я (1) то ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х), С1,С2 – пр псот также явл-я решением ур-я (1)
Ф-ю у=фи1(х) и у=фи2(х) будем называть фундаментальной системой частных решений ур-я (1) на Е если определитель
Фи1(х) фи2(х)
∆(фи1,фи2)= фи’1(x) фи’2(x)
Не обращается в 0 ни в одной точке этого промежутка Е
Теорема(о структуре общего решения дифф ур-я)
Если ф-и у=фи1(х) и у=фи2(х) образуют фундаментальную систему частных решений ур-я (1) на Е то общее решение ур-я (1) имеет вид у=С1фи1(х)+С2фи2(х) где С1,С2-пр пост
Док-во
Для того чтобы доказать что ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х) явл-я общим решением ур0я (1) проверим два условия
1)по св-у (3) решений ур-я (1) при любых С1,С2 ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х) уд-т ур-ю (1)
2)рассмотрим производную x из Е и произвольные начальные условия y(при х=х0)=у0, у=х0=у0 и покажем сто найдутся такие значения пр пост С1=С1*, С2=С2*
У=С1*фи1(х)+С2*фи2(х) будет уд-ь указанными нач условиям
С1фи2(х0)+С2фи2(х0)=у0
С1фи’1(x0)+C2фи’2(x0)=y0
Заметим что определитель осн матрицы системы
Фи1(х0) фи2(х0)
Фи’1(х0) фи’2(х0)
Представляет собой определитель Вронского
Фи1(х) и фи2(х) – этот определитель отличен от 0,а в этом случае система имеет и при том единственное решение, которое можно найти по ф-е Крамера (С1*,С2*). Таким образом ф-я у=С1*фи1(х)+С2*фи2(х) представляет собой частное решение ур-я (1) уд-е заданным нач условиям. Все решение ур-я (1) содержится в формуле у=С1фи1(х)+С2фи2(х)
Структура общего решения линейного неоднородного ур второго порядка
Рассмотрим дифф ур-е вида y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) (1) где p(x),q(x),F(x) определены и непр на Е, причем f(x) не равно 0. Ур-е получ-е из ур-я (1) при учловии что f(x)≡0 т.е y”+p(x)y’+q(x)y=0 (2) будем называть соот-м однородным уравнением.
Теорема(о структуре решения ЛНДУ)
Если фи1(х) и фи2(х) образуют ф.с.ч.р. соот-о однородного ур-я (2); F(x) какое либо частное решение ур-я (1) то общее решение ур-я (1) имеет вид y=C1фи1(х)+С2фи2(х)+F(x)
Метод вариации пр пост (метод Лагранжа) отыскания частного решения неоднородного линейного дифф ур второго порядка
Рассмотрим универсальный метод отыскания какого либо частного решения ур (1)
Фи1(х) и фи2(х) – ф.с.ч.р (2)
Будем искать частное решение ур-я (1) в виде у=С1фи1(х)+С2фи2(х) (3)
Где С1(х) и С2(х) пока неизвестные ф-т
Для отыскания ф-и С1(х) и С2(х) нужно получить два условия (уравнения)
Найдем производную
y’=C’1(x)фи1(х)+C1(x)фи’1(x)+C’2(x)фи2(х)+С2(х)фи’2([)=C1(x)фи’1(x)+C2(x)фи’2(x)+C’1(x)+C’2(x)фи2(х)
C’1(x)фи1(х)+C’2(x)фи2(х)=0 (4)
y’=C1(x)фи’1(х)+С2(х)фи’2(х)
y”=С’1(х)фи’1(х)+С1(х)фи”1(х)+С’2(х)фи’2(х)+С2(х)фи”2(х)
y’=C1(x)фи’1(х)+С2(х)фи’2(х)
C’1(х)фи’1(х)+С1(х)фи”1(х)+С’2(х)фи2(х)+С2(х)фи”2(х)+р(х)(С1(х)+фи’1(х)+С2(х)фи’2(х))+q(х)(С1(х)фи1(х)+С2(х)фи2(х))=f(x)
С1(х)(фи”1(х)+р(х)фи’1(х)+q(x)фи1(х))+С2(х)(фи”2(х)+р(х)+фи’2(х)+q(x)фи2(х))+С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x)
С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x) (5)
Условие (4) и условие (5) должны вып-я одновременно
C’1(x)фи1(х)+C’2(x)фи2(х)=0
С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x) (*)
Фи1(х) фи2(х)
∆= не равно 0 на Е
Фи’1(х) фи’2(х)
С1(х)=SС’1(х)dx
C2(x)=SC’2(x)dx
Линейные однородные дифф ур второго порядка с постоянными коэф
Линейные неоднородные дифф ур второго порядка с постоянными коэфф. Метод неопределенных коэф.
Рассмотрим несколько вспомогательных фактов
1)многочленом n i-степени переменной х наз-я ф-я вида рn(x)=bnx^n+bnX^n+…+b1x+b0
bn1,bn-1,…,b0 – действительные числа
Число а наз-я корнем кратности альфа многочлена р(х) если этот многочлен можно представить в виде р(х)=(х-1)^альфа*Q(x)
2)k^2+pk+q=0
Λ(k)=k^2+pk+q - характеристический многочлен
λ(к) он имеет два корня
1)к1 не равно л2 2)к1=к2
1)λ (к)=(k-k1)(k-k2)
λ (k)=(k-k2)(k-k1)
k1 не равно k2 λ(k1)=0 λ(k2)=0
λ(k1) не равно 0 λ(k2) не равно 0
λ’(k1)= λ’(k2) не равно 0
2)k1=k1=k1
λ ((k2)=0
λ’(k2)=0
λ”(k2) не равно 0
Рассмотрим дифф ур вида
y’+py’+qy=e^ альфаx * Pm(x) (2)
p,q,альфа - некоторые действительные числа
Pm(x) – многочлен в степени m
Утверждение 1
Частное решение дифф ур (2) можно искать в виде y=x^l * e^альфах * Qm(x)
e- кратность корня альфа для характеристического ур-я λ(к)
Qm(x) – многочлен степени m с неопр коэф
Дифф ур с частными производными. Основные понятия.
Ур-е связывающее неизвестную ф-ю от нескольких независимых переменных, независимые переменные и частные производные от этой неизвестной ф-и наз-я диф ур с частными производными
Пример: d^2U/dx^2+d^2U/d^2y^2 U=U(x,y)
В общем виде дифф ур в частных произ-х относительно ф-и U=U(x,y) можно записать след образом
F(x,y)U, dU/dx, dU/dy, …, d^nU/dn^(n-k) dyk … = 0 (1)
F – ф-я своих переменных
Порядок старшей частной производной входящей в данное диф ур наз-я порядком этого ур-я
Пусть дано диф ур-е (1) n-го порядка ф-я U=фи(x,y) задана в области G из R^2 наз-я решением ур-я (1) в области G если она непрерывна всеемте со своими частными производными до порядка n включительно и при подстановке в ур-е (1) обращает его в тождество в области G
F(x,y,фи(х,у), dфи(х,у)/dx, dфи(х,у)/dy, …, d^nфи(х,у)/dn^(n-k) dyk … ≡0
Как правило общее решение дифф ур-я в частных производных зависит от производных ф-и, число которых равно порядку этого уравнения.