Инвестиционный портфель – это совокупность различных комбинаций активов, которые бы обеспечили максимальную доходность при минимальном уровне риска. Портфель может быть технически составлен для любых видов финансовых инструментов и активов: акций, облигаций, фьючерсов, индексов, недвижимости и т.д.
В основе модели Марковица лежат два ключевых показателя любого финансового инструмента: доходность и риск. Доходность по модели представляет собой математическое ожидание доходностей, а риск определяется как разброс доходностей возле математического ожидания и рассчитывается через стандартное отклонение.
Модель позволяет снизить систематические риски за счет группировки активов с отрицательной корреляцией доходностей.
Пусть – средняя доходность за определенный отрезок времени (предыдущий). Как рекомендуют классики, нужно смотреть в прошлое на лет 7-10, т.е. – усреднение доходности ценных бумаг за период ... . Доходность измеряется в процентах, а что касается дисперсии, то она измеряется в квадратных процентах и обозначается … . Вместо дисперсии можно использовать среднеквадратическое отклонение … .
Так же необходимо знать ковариацию каждой бумаги с остальными , для всех i j; i, j =1…n, или можно использовать коэффициент корреляции = = ; ковариация в этом случае будет выглядеть таким образом: = .
Итак, нужно создать набор долей в наших инвестициях. – доля вложения в бумагу №1, а … доля вложений в бумагу №n. Сумма этих
долей … = 1, либо
Например, наша задача получить доходность от инвестиции в среднем размере Rn; а значит, равна она Rn = +…+ ; либо
Цель – создать минимальный риск, для этого = = + + + * min, либо
= +…+ + min.
В математике это носит название поиск условного экстремума.
Допустим, есть доходность =10% и =20%, желаемая прибыль 15%.
У нас есть система уравнений
Подставляем – это система линейных алгебраических уравнений.
Используя метод вычислений, когда из первого уравнения вычитают второе уравнение 10 раз, получим такой ответ:
Ответ: при и доход составит 15%.
Мы можем получить и 12% дохода.
Ответ: при и доход составит 12%.
Когда мы берем только , а = 0, значит 0*10+1*20 = 20.
Получить дохода больше 20% тоже можно.
- получило отрицательное значение, что может быть в действительности. Это называют – иметь «открытую позицию».
Метод Марковица заключается в том, что нужно найти экстремум (в нашем случае минимум) имеющих n переменных и нужно найти е минимум ƒ( … ) min.
Когда речь идет о min безусловном, то min находится следующим образом: вычисляются частные производные по ( … )
Это необходимые условия гладкой функции (для min и для max). Но в нашем примере не безусловный экстремум, а с определенными условиям:
m<n
Эта задача в формулировке Лагранжа, решается так:
L ( … , , … ) = ƒ( … ) + min
1. Необходимо посчитать частные производные от этой функции и производные по λ.
+ ; j=1…n,
= ; k=1;m.
Если все частные производные прировнять к 0, получим систему уравнений, имеющих n+m переменных. Решением будет являться min нашей функции Лагранжа и одновременно условным min ƒ( … ).
В «роли» переменных выступают: и в роли ƒ( … ) выступает дисперсия портфеля: = = + + + * min
Итак ƒ( = + - стремится к min при следующих условиях:
Функция Лагранжа для задачи Марковица:
L = () = + +
+ min
Считаем производные
+ ; i = 1…n.
0;
.
Итак, получается система уравнений.
Методов решения этой системы уравнения много, продемонстрируем решение этого уравнения с помощью матрицы.
* =
Матричная форма записи системы линейных алгебраических уравнений.
Пример умножения матрицы
; *
Единичные матрицы (Е) – Это диагональная матрица (по диагонали всегда 1). Если умножить матрицу А на единичную матрицу Е, то в ответе будет матрица А.
Обратные матрицы Аˉ¹. Если Аˉ¹ *А=Е.
Решение уравнения
x = 4; y = 3
Проверяем