Лабораторная работа № 101
Цель работы: изучить внутреннее трение, как одно из явлений переноса в газах.
Описание установки и метода измерений.
Вязкость представляет собой пример так называемых явлений переноса. В упрощенной теории вязкости, которая, тем не менее, охватывает все существенные черты данного явления, используются понятия эффективного диаметра и средней длины свободного пробега молекул газа, которые кратко обсуждаются ниже. Молекулы не все время движутся свободно, а время от времени сталкиваются с другими молекулами. В момент столкновения скорость молекулы испытывает резкое изменение как по величине, так и по направлению. В результате траектория молекулы получается не прямой, а ломаной линией с большим количеством звеньев. Для количественного описания явления Клаузиус ввел понятие средней длины свободного пробега l, т.е. среднего расстояния, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями. Для оценки l используется модель твердых шаров [1], с которыми отождествляются молекулы. Диаметр такого шара называется эффективным диаметром молекулы d и совпадает с минимальным расстоянием, на которое сближаются центры двух молекул. Для оценки l предположим, что движется только одна молекула с постоянной скоростью υ – средней тепловой скоростью молекул [2]. Тогда
. (1)
Вообразим, что с подвижной молекулой жестко связана концентрическая с ней твердая сфера диаметра 2 d, которую назовем сферой ограждения молекулы. Между двумя последовательными столкновениями подвижной молекулы ее сфера ограждения описывает цилиндр, длина которого и есть свободный пробег молекулы. Если центр другой молекулы лежит внутри или на боковой поверхности этого цилиндра, то она столкнется с нашей молекулой. В противном случае столкновения не произойдет. Пусть V – объем цилиндра, описываемого сферой ограждения в единицу времени, для которого имеем: V=pd2 υ. Среднее число z столкновений движущейся молекулы с остальными молекулами в единицу времени равно среднему числу последних в объеме V, т.е. z=Vn, где n – число молекул в единице объема или концентрация. Следовательно,
. (2)
Путь, пройденный молекулой за единицу времени, равен u. Разделив его на среднее число столкновений z, получим среднюю длину свободного пробега молекулы:
. (3)
Строгий расчет с учетом максвелловского распределения молекул по скоростям дает следующий результат [2]
, (4)
. (5)
Наличие внутреннего трения в газах можно проиллюстрировать на следующем примере. Между двумя параллельными пластинками АВ и CD площади S (см. рис. 1) находится воздух или иной газ.
Рис. 1.
При движении пластинки CD появляется сила, действующая на пластинку АВ и направленная в сторону движения. Эта сила и есть сила внутреннего трения. Впрочем, о внутреннем трении можно говорить лишь тогда, когда расстояние между пластинами АВ и CD очень велико по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул газа. Тогда от наличия пластин можно отвлечься и говорить о силах, действующих внутри самого газа. Будем представлять себе газ неограниченным и движущимсястационарно плоско-параллельными слоями в горизонтальном направлении. Скорость этого макроскопического движения u меняется в направлении, перпендикулярном к слоям. Это направление примем за ось Х (рис. 1.2). Таким образом, мы предполагаем, что u=u (x). Рассечем мысленно газ на две половины плоскостью, параллельной слоям и проходящей через некоторую точку x0. Допустим для определенности, что скорость u(x) возрастает с возрастанием х. Тогда верхняя половина газа будет действовать на нижнюю с силой, направленной вправо, а нижняя на верхнюю – с силой, направленной влево. Это и есть силы внутреннего трения, и их величина определяется формулой Ньютона [2]:
(6)
где η - коэффициент вязкости.
Рис. 2.
С молекулярной точки зрения происхождение сил внутреннего трения объясняется следующим образом. Если бы газ покоился, то все направления скоростей его молекул были бы равновероятны. Средняя скорость и средний импульс каждой молекулы были бы равны нулю. При наличии упорядоченного движения газа средняя скорость молекулы отлична от нуля и равна u = u (x). С этой скоростью связан импульс Р=mu, которым обладает рассматриваемая молекула. Такой импульс условимся называть упорядоченным. Молекулы, лежащие над плоскостью АВ, обладают большим упорядоченным импульсом, чем молекулы, расположенные под ней. Переходя из верхнего полупространства в нижние, молекулы передают часть своего упорядоченного импульса молекулам, с которыми они сталкиваются в нижнем полупространстве. Это проявляется в том, что газ, расположенный ниже плоскости АВ, подвергается действию силы, направленной в сторону скорости u. Аналогично, более медленные молекулы, попадая из нижнего в верхнее полупространство, при столкновениях отнимают часть упорядоченного импульса у молекул, расположенных выше плоскости АВ. В результате газ в верхнем полупространстве испытывает тормозящую силу, направленную против скорости u. Эти силы и являются силами внутреннего трения.
Количественное описание внутреннего трения с помощью рассмотрения потока импульса (который в нашем примере направлен сверху вниз) позволяет получить явное выражение для коэффициента внутреннего трения (или вязкости) [3]:
. (7)
В (7) использовано соотношение, связывающее плотность газа ρ с массой молекулы m и концентрацией молекул n: ρ = nm.
Для определения коэффициента вязкости воздух продувается через длинный тонкий канал (капилляр) с небольшой скоростью. При малых скоростях потока течение в канале является ламинарным, т.е. поток воздуха движется отдельными слоями, и его скорость в каждой точке направлена вдоль оси канала. Такое течение устанавливается на некотором расстоянии от входа в капилляр, поэтому для достижения достаточной точности эксперимента необходимо выполнение условия r <<l, где r – радиус; l – длина капилляра. В данной установке l =0,1 м, r =0,50 мм. Таким образом, условие малости радиуса капилляра по сравнению с его длиной выполнено. С другой стороны, r достаточно велик по сравнению с l, чтобы был задействован механизм внутреннего трения. Так при условиях, близких к нормальным, для «молекул воздуха» имеем d≈3,7·10-10 м, и справедлива оценка l ~6·10-8 м.
Для объемного расхода газа Q (т.е. объема газа, протекающего за единицу времени через поперечное сечение канала) справедлива формула Пуазейля [2]:
. (8)
Это соотношение используется для экспериментального определения коэффициента вязкости газа. Измеряя объемный расход Q и разность давлений (p1 – p2) воздуха на концах капилляра длиной l и радиусом r, коэффициент вязкости можно рассчитать по формуле:
. (9)
Рис. 3. Схема установки ФПТ1-1н
Воздух в капилляр 2 нагнетается микрокомпрессором, вмонтированным в блок управления. Величина объемного расхода устанавливается посредством регулятора o и измеряется реометром 1. Следует заметить, что во всем диапазоне изменения объемного расхода скорость движения воздуха в капилляре сравнительно невелика (до 40 м/с), так что не нарушается ламинарный режим течения. Для определения разности давлений воздуха на концах капилляра предназначен U-образный водяной манометр 4, колена которого соединены с камерой отбора давления 3.
Предварительное задание.
Для выполнения работы необходимо изучить с помощью [1-3] теорию явлений переноса, в том числе теорию явления внутреннего трения.
Рабочее задание.
С помощью установки ФПТ1-1н определить коэффициент вязкости, среднюю длину свободного пробега и эффективный диаметр молекул азота (который составляет 78,1 % воздуха).
Указания по технике безопасности.
1. К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с ее устройством, принципом действия и мерами безопасности в соответствии с требованиями, приведенными в настоящем разделе.
2. Для обеспечения нормальной работы установки и предотвращения выхода из строя фотодатчика подключение установки к электронному блоку производить строго в соответствии с описанием.
3. Для предотвращения опрокидывания установки необходимо располагать ее только на горизонтальной поверхности.
Указания по выполнению эксперимента.
1. Включить установку (рис. 4) тумблером «Сеть». При этом в модуле рабочего элемента загорается постоянная подсветка (зеленое свечение), указывающая на подачу питания.
Рис. 4
2. Включить в приборном модуле переключатель «Компрессор». При этом отсек в модуле рабочего элемента подсвечивается мигающим красным светом, указывающим на то, что микрокомпрессор начал прокачку капилляра.
3. Плавно вращая регулятор расхода воздуха «Расход» в приборном модуле установить расход в соответствии с заданием по шкале расходометра на приборном блоке, начиная со значения 1,1 л/мин.
4. Замерить температуру Т и давление р0 в аудитории.
5. Замерить разность давлений (Δр) с измерителя давления 4. Значения «Расход Q» и (Δр) занести в таблицу 1. Перевести значения «Расход Q» по табл. 2 в расход в л/мин, а затем в м3/с.
Таблица 1. Результаты измерений
| i | Q, л/мин | Q, м3/с | Δ p, Па | η, Па·с | υ, м/с | l, м | z, с-1 | n, м3 | d, м |
| x |
6. Повторить измерения по пунктам 3, 4 для пяти значений объемного расхода воздуха.
7. Выключить компрессор, а затем установку тумблером «Сеть».
Указания по обработке результатов измерений.
1. Для каждого измеренного режима определить коэффициент вязкости воздуха по формуле (9). Найти среднее значение коэффициента вязкости 
.
2. Вычислить среднеарифметическую скорость υ движения молекул воздуха по формуле (1), учитывая, что молярная масса воздуха μ равна 29·10-3 кг/моль.
3. С полученным средним значением коэффициента вязкости воздуха , по формуле:
, (10)
рассчитать среднюю длину свободного пробега l молекул. Концентрация n молекул воздуха может быть определена из формулы:
, (11)
где используются измеренные значения температуры Т и давления р0 воздуха в аудитории.
4. Вычислить по формуле (5) эффективный диаметр d молекул и среднее число столкновений молекул z в единицу времени, учитывая соотношение
. (12)
Контрольные вопросы.
1. Напишите выражение для среднеквадратичной скорости молекул идеального газа. Пояснить его происхождение.
2. Приведите известные вам формы уравнения состояния идеального газа.
3. Как связаны средняя длина свободного пробега l и число z столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за одну секунду?
4. Оцените среднее расстояние árñ между молекулами азота при условиях, близких к нормальным.
5. В потоке газа, направленном вдоль оси х, скорость газа u x растет в положительном направлении оси Z. Куда направлен обусловленный неоднородностью u x поток импульса?
6. Вычислите среднюю длину свободного пробега l молекул газообразного азота, находящегося при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекулы азота положить равным d =0,37 нм.
7. Во сколько раз средняя длина свободного пробега l молекул азота, находящегося при нормальных условиях, больше среднего расстояния между молекулами?
8. Азот находится при нормальных условиях. Найдите среднюю частоту столкновений z.
9. Напишите в переменных (р, V) уравнение процесса, в котором сохраняется z.
10. Как зависит l от абсолютной температуры Т идеального газа, если последний совершает адиабатический процесс?
11. Как зависит z от Т идеального газа в изохорическом процессе?
12. Идеальный газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, совершает адиабатический процесс. Как зависит l в этом процессе от давления р?
13. Определите характер зависимости от температуры Т и давления р газа его коэффициента вязкости η.
14. Как изменится коэффициент вязкости η идеального газа, если объем газа увеличить изотермически в 4 раза?
15. Идеальный газ состоит из жестких двухатомных молекул. Как и во сколько раз изменится η, если объем газа адиабатически уменьшить в 10 раз?
Литература.
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика и молекулярная физика. – М.: Наука, 1979. – (Для изучения – с. 551).
2. Савельев И.В. Курс общей физики. T.I. Механика. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1987. (Для изучения – с. 432).
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 2000. (Для изучения – с. 542).