Дифференциальное и интегральное исчисление




Линейная алгебра

 

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Элемент линейного пространства удовлетворяющий свойству называется …

    нейтральным
      противоположным
      обратным
      единичным

 

Решение:
По определению линейного пространства существует единственный нейтральный элемент удовлетворяющий свойству

 


ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Линейные операции над матрицами
Даны матрицы и Если то элемент матрицы равен …

     
      – 26
       
       

 

Решение:
При вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц вычитаются друг из друга. Тогда

 


ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Определитель равен …

     
       
       
       

 

Решение:
Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки:

 


ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Для матрицы A существует обратная, если она равна …

   
     
     
     

 

Решение:
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю, тогда

 


ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен двум. Тогда значение a равно …

   
       
      – 1
       

 

Решение:
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Так как существуют ненулевые миноры второго порядка, например: то ранг матрицы A будет равен двум, если минор третьего порядка равен нулю. Вычислим

 


ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Методом Крамера не может быть решена система линейных уравнений …

   
     
     
     

 

Решение:
Систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Крамера, если ее определитель не равен нулю.
1. Из системы получим следовательно, система может быть решена методом Крамера.
2. Из системы , получим следовательно, система может быть решена методом Крамера.
3. Из системы получим следовательно, система может быть решена методом Крамера.
4. Из системы получим следовательно, система не может быть решена методом Крамера.

 

 

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Единственное решение имеет однородная система линейных уравнений …

   
     
     
     

 

Решение:
Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если ее определитель не равен нулю.
1. Из системы получим

следовательно, система имеет единственное решение.
2. Из системы получим так как последние две строки пропорциональны.
3. Из системы получим так как последние два столбца пропорциональны.
4. Из системы получим так как первый и третий столбцы пропорциональны.

 


ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Для матрицы не существует обратной, если a равно …

   
     
     
     

 

Решение:
Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть тогда обратной матрицы не существует при

 

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …

    – 1
      – 5
       
       

 

Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда
По условию задачи определитель должен равняться то есть
Следовательно,

 

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Линейные операции над матрицами
Матрицы A, B, C имеют одинаковую размерность. Если E – единичная матрица того же размера, что и матрицы A, B, C, и матрица тогда верно равенство …

   
     
     
     

 

Решение:
Если выразить матрицу B, то получим равенство:

 

 

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений

    имеет бесконечное множество решений
      не имеет решений
      имеет два решения
      имеет единственное решение

 

Решение:
По методу Гаусса приведем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее:
Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы. В этом случае ранг матрицы системы равен двум и ранг расширенной матрицы системы также равен двум. Если ранг матрицы равен количеству неизвестных, то система является определенной, то есть имеет одно решение. Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, т.е. то система неопределенная, то есть имеет больше одного решения. В нашем случае следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

 

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Линейные операции над матрицами
Даны матрицы и Если то след матрицы C равен …

     
       
       
       

 

Решение:
Матрица C находится следующим образом:

След матрицы равен сумме элементов главной диагонали:

 

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Линейное пространство L не обладает свойством …

    для любых и
      противоположный элемент является единственным для любого
      для любого
      для любых и

 

Решение:
Линейное пространство обладает следующими свойствами:
1. Нейтральный элемент является единственным.
2. для любого
3. Для любого противоположный элемент является единственным.
4. для любого
5. для любых и

 

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен …

     
       
       
       

 

Решение:
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Так как существуют ненулевые миноры третьего порядка, например: то ранг матрицы равен трем.

 


ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Для матрицы A существует обратная, если она равна …

   
     
     
     

 

Решение:
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю, тогда

 


ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …

    – 3
       
       
      – 9

 

Решение:
Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки:
По условию задачи определитель должен равняться x, то есть Следовательно,

 

 


Дифференциальное и интегральное исчисление

 

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Предел функции
Предел равен …

   
     
       
       

 

Решение:

Разделим почленно числитель и знаменатель на , где – степень многочлена в знаменателе. То есть разделим на .

 

 

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Асимптоты графика функции
Наклонная асимптота графика функции задается уравнением вида …

   
     
     
     

 

Решение:
Прямая является наклонной асимптотой графика функции при если существуют конечные пределы:
или соответственно

Вычислим эти пределы:


Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика данной функции как при так и при

 


ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Основные методы интегрирования
Множество первообразных функции имеет вид …

   
     
     
     

 

Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда

Произведем замену

 


ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Значение частной производной функции в точке равно …

   
     
     
     

 

Решение:
При вычислении частной производной по переменной y переменную x рассматриваем как постоянную величину. Тогда

Следовательно,

 


ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Производные первого порядка
Производная функции равна …

   
     
     
     

 

Решение:
Предварительно прологарифмируем данную функцию:
и продифференцируем обе части полученного равенства

Тогда

 


ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Предел функции
Предел равен …

   
     
     
       

 

Решение:

Разделим почленно числитель и знаменатель на где n – степень многочлена в знаменателе, то есть разделим на

 


ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …

   
     
     
     

 

Решение:
Данная функция определена, если Тогда

Следовательно, область определения данной функции будет иметь вид:

 


ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Материальная точка движется прямолинейно по закону Тогда скорость точки равна 10 в момент времени …

   
     
     
     

 

Решение:
Скорость движения материальной точки можно определить как производную первого порядка пути по переменной t. Тогда и То есть и с учетом условия получаем, что

 


ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Свойства определенного интеграла
Среднее значение функции на отрезке равно …

   
     
     
     

 

Решение:
Среднее значение функции непрерывной на отрезке вычисляется по формуле где Тогда

 

 

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Асимптоты графика функции
Вертикальная асимптота графика функции задается уравнением вида …

   
     
     
     

 

Решение:
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции если эта функция определена в некоторой окрестности точки и или Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть или Однако точка не принадлежит области определения функции имеющей вид
Вычислим односторонние пределы функции в точке
и
Следовательно, прямая будет вертикальной асимптотой.

 

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …

   
     
     
     

 

Решение:
Данная функция определена, если То есть
или

 


ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Промежуток убывания функции имеет вид …

   
     
     
     

 

Решение:
Применим достаточное условие убывания функции, которое можно сформулировать следующим образом: если в некотором промежутке то функция в этом промежутке убывает. Поэтому вычислим производную первого порядка и решим неравенство
Предварительно найдем корни уравнения а именно
Тогда
Следовательно, при

 


ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Производные первого порядка
Функция задана в параметрическом виде
Тогда производная первого порядка функции по переменной x имеет вид …

   
     
     
     

 

Решение:

 


ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Свойства определенного интеграла
Для определенного интеграла справедливо равенство …

   
     
     
     

 

Решение:
Пусть Тогда
то есть функция является четной. А определенный интеграл от четной функции по симметричному интервалу можно представить как

 


ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Основные методы интегрирования
Множество первообразных функции имеет вид …

   
     
     
     

 

Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда

Произведем замену

 

 

ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке
Тема: Свойства определенного интеграла
Значение определенного интеграла принадлежит промежутку …

   
     
     
     

 

Решение:
Если функция интегрируема на и то
Согласно свойств функции наименьшее значение функции на отрезке достигается при и равно а наибольшее – при и равно
Следовательно, или

 

 

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Основные методы интегрирования
Множество первообразных функции имеет вид …

   
     


Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: