Основные теоретические положения.

Синусоидального тока»

для студентов инженерных специальностей

очной и заочной формы обучения

Составили:

Шулаева Л.В., Кириллова Р.Д.

 

 

Тюмень 2009 г.

Наименование учебно-методического материала: Шулаева Л.В., Кириллова Р.Д.

Методические указания к лабораторной работе № 4 «Исследование неразветвленной электрической цепи однофазного синусоидального тока» для студентов инженерных специальностей очной и заочной формы обучения.

 

Тюмень ТюмГАСУ, 2009 г. стр. 16

 

Рецензент___________зав. кафедры информатики к.т.н. Третьяков П.Ю.

(степень, звание, фамилия, имя, отчество)

Учебно-методический материал утвержден на заседании кафедры:

Протокол №___________________от _________2009 г.

 

Учебно-методический материал утвержден на УМС университета:

Протокол №___________________от___________2009 г.

Тираж____________________________________________экземпляров.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цель работы___________________________________________________ 4_

2.Основные теоретические положения_______________ ________________4

3. Резонанс напряжений___________________________________________ 9

4.Порядок выполнения работы_____________________________________13

5.Содержание отчета_____________________________________________14

6.Контрольные вопросы___________________________________________15

7. Библиографический список______________________________________15
1. Цель работы.

 

1. Проверка применимости законов Кирхгофа для цепей однофазного переменного тока.

- Убедиться, что при последовательном соединении электроприёмников полное напряжение в цепи равно геометрической сумме падений напряжения на участках цепи (второй закон Кирхгофа).

 

2. Исследовать влияние изменения одного из параметров цепи – реактивного емкостного сопротивления x_c - на величину тока, потребляемого цепью (резонанс напряжений).

 

Основные теоретические положения.

В настоящей работе исследуется неразветвленная (последовательное соединение приемников) электрическая цепь однофазного переменного синусоидального тока, содержащая активное, реактивное индуктивное, реактивное емкостное сопротивления (Рис.1).

 

 

 

Под действием переменного синусоидального напряжения, приложенного к цепи, в ней возникает ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону. Аналитически его можно описать выражением:

 

i =I_m sinωt (1)

 

 

Проходя по элементам цепи, ток создает на них падения напряжения, мгновенные значения которых равны:

 

(2)

 

 

Из полученных выражений (2) для мгновенных значений падений напряжения можно сделать выводы:

 

1. – падение напряжения на катушке индуктивности u_L в своих изменениях опережает по фазе изменения тока на (90º), т.е. угол сдвига фаз φ_L = + ;

 

2. – падение напряжения на конденсаторе u_С отстает по фазе от тока на (90º), т.е. угол сдвига фаз φ_С = (- );

 

3. – падение напряжения на резисторе u_R совпадает по фазе с током, т.е.угол сдвига фаз φ_R = 0º;

 

4. Амплитудные значения напряжений равны:

U_Lm = I_LmX_L; U_Сm = I_СmX_С; U_Rm = I_RmR; (3)

Для последовательного соединения элементов (Рис.1)

II закон Кирхгофа можно записать в трех видах:

 

u = u_L + u_С + u_R - для мгновенных значений; (4)

 

Ů = Ů _Lm + Ů_mL + Ů_mR - для амплитудных значений (в векторной форме); (5)

 

Ů = Ů_L + Ů_C + Ů_R - для действующих значений(в векторной

форме); (6)

 

На основании II закона Кирхгофа строится векторная диаграмма для амплитудных значений.

 

 

 

 

На практике чаще строится векторная диаграмма для действующих значений. Для этого уравнение (5) надо разделить на .

 

Для удобства суммирования можно строить векторы, пользуясь правилом многоугольника: каждый последующий вектор строится от конца предыдущего. Такая диаграмма называется топографической (Рис. 3).

 

 

Вектор Ů_Р = Ů_L + Ů_C – вектор полного реактивного напряжения.

Следует учесть, что в данном случае активная составляющая Ů_а вектора полного напряжения совпадает с вектором Ů_R (Ů_а = Ů_R).

 

Из векторной диаграммы (Рис. 3) видно, что:

, (7)

т.к. U_R =I·R; U_L =I·X_L; U_C =I·X_С, (из формулы (3), поделив величины на ),

получаем:

U = I· (8)

Из формулы (8) выразим силу тока

- закон Ома (9)

 

где - (10)

полное сопротивление цепи переменного тока с последовательным соединением приемников.

 

Если в цепи несколько активных и реактивных элементов, то параметры R, X_L, X_C в выражении (10) следует рассматривать как соответствующие суммы:

(11)

 

Из диаграммы (Рис. 3) следует, что

 

(12)

 

Кроме того, видно, что в зависимости от величины U_L и U_С , напряжение U может отставать, опережать или совпадать по фазе с током I.

Если U_L > U_С , а это будет тогда, когда X_L > X_С, т.е. полное сопротивление Z – активно – индуктивное, а напряжение опережает по фазе ток (φ > 0).

Если U_С > U_L, (т.е. X_С > X_L), полное сопротивление Z – активно – емкостное, а напряжение отстает по фазе от тока (φ < 0).

Если U_L = U_С, (т.е. X_L = X_С), полное сопротивление Z = R – активное, а напряжение совпадает по фазе с током (φ = 0).

 

В цепях переменного тока протекают более сложные энергетические процессы, обусловленные наличием разнородных элементов: активного – R, реактивных X_L и X_С. На активном элементе – резисторе – происходит необратимое преобразование энергии электрического тока в другие формы энергии (в основном, в тепловую). Скорость такого преобразования – активная мощность – выражается следующим соотношением:

P = I²R =IU_R= IUcos φ (Вт, кВТ)(13)

 

На реактивных элементах L (катушка индуктивности) и C (конденсатор)происходит обратимый процесс преобразования энергии электрического тока в энергию магнитного поля (на катушке) и электрического поля (на конденсаторе). Энергия как бы совершает колебания между источником и реактивной нагрузкой.

Интенсивность таких колебаний количественно оценивается

реактивной мощностью:

Q_L = I² X_L = IU_L = IUsin φ (ВАР, кВАР) (14)

– реактивная индуктивная мощность;

Q_С = I² X_С = IU_C = IUsin φ (ВАР, кВАР) (15)

- реактивная емкостная мощность.

Полная мощность: (ВА, кВА) (16)

где Q = Q_L – Q_C – реактивная мощность цепи.

В данной работе рассматривается электрическая цепь, состоящая из резистора - R, конденсатора - C и катушки индуктивности (r_к, X_L) – (Рис. 4). Катушка обладает не только реактивным сопротивление, но и активным:

r_к = Z_К сos φ_к (17);

X_L = Z_К sin φ_к (18)

Полное сопротивление катушки Z_К можно найти из закона Ома:

Z_К = (19)

Полное сопротивление цепи Z можно определить:

Z = (20)

Значение угла сдвига фаз φ_К между падением напряжения на катушке и током взять из предыдущей работы.

3. Резонанс напряжений.

Резонанс напряжений – это такой режим работы неразветвленной электрической цепи переменного тока, при котором полное напряжение (входное) и ток совпадают по фазе (φ = 0), т.к. из (12)

,

Условием резонанса является соотношение:

X_L = X_С (21)

Следовательно:

При резонансе:

Lω= , LCω² = 1 (22)

Анализируя (22) приходим к выводу, что резонанс в цепи можно получить тремя способами:

1. – изменением частоты при постоянных L и C;

2. – изменением индуктивности при постоянных C и ω;

3. – изменением емкости при постоянных L и ω.

 

Резонансная частота ω₀ =

При резонансе полное сопротивление цепи становится равным только активному сопротивлению:

= R (при X_L =X_С) (23)

При этом оно достигает своего наименьшего значения, а следовательно, ток при резонансе достигнет максимально возможной величины.

I_РЕЗ = (24)

 

 

При резонансе реактивные напряжения U_L и U_С становятся равными по величине, но противоположными по направлению, т.к. между ними имеет место сдвиг фаз, равный 180º, это приводит к тому, что реактивное напряжение цепи U_Р становится равным нулю (Рис. 6).

U_L =I· X_L; U_С = I· X_С;

при U_L = U_С;

U_Р = U_L - U_С =0

Таким образом, полное напряжение становится равным падению напряжения на активном элементе

U= I· Z_РЕЗ = I· R= U_R

На Рис. 6 изображена векторная диаграмма напряжений для случая резонанса. Активная мощность такой цепи:

Р_РЕЗ = IUcos φ = IUcos 0º= IU = S,

а реактивная Q_РЕЗ = IUsin φ = 0

 

Реактивные мощности индуктивной катушки Q_L = I² X_L и конденсатора Q_С = I² X_С не равны нулю. Происходит непрерывный обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора. При резонансе реактивная энергия циркулирует внутри контура электрической цепи от катушки индуктивности к конденсатору и обратно. Обмена энергией между источником и цепью не происходит.

При резонансе падения напряжения на катушке и конденсаторе равны:

U_LРЕЗ = I_РЕЗ X_L = X_L; U_СРЕЗ = I_РЕЗ X_С = X_С,

Из этих выражений следует, что

при X_L = X_С > R,

напряжения U_L и U_С могут быть больше напряжения U, приложенного ко всей цепи.

Это обстоятельство следует учитывать при эксплуатации электротехнических устройств, так как при резонансе напряжений на отдельных элементах устройств падение напряжения может превысить величину напряжения прочности изоляции.

Явление резонанса широко используется в устройствах радиотехники, телевидения, автоматики и др.

Если электрическая цепь (Рис. 1) имеет параметры L и C такие, что резонансной для этой цепи является частота ω₀ = , то ток этой частоты будет иметь максимальное значение.

Токи других частот будут меньше. Изменяя индуктивность L и емкость C, можно настраивать контур на ту или иную резонансную частоту и усиливать в цепи ток соответственно той или иной частоты.