В Maple для исследования функции на экстремум имеется команда extrema(f,{cond},x,’s’), где f - функция, экстремумы которой ищутся. В фигурных скобках {cond} указываются ограничения для переменной, х – имя переменной, по которой ищется экстремум, в апострофах ’s’ – указывается имя переменной, которой будет присвоена координата точки экстремума. Если оставить пустыми фигурные скобки {}, то поиск экстремумов будет производиться на всей числовой оси. Результат действия этой команды относится к типу set. Пример:
> extrema(arctan(x)-ln(1+x^2)/2,{},x,’x0’);x0;
{{ x =1}}
В первой строке вывода приводится экстремум функции, а во второй строке вывода – точка этого экстремума.
К сожалению, эта команда не может дать ответ на вопрос, какая из точек экстремума есть максимум, а какая – минимум. Для нахождения максимума функции f (x) по переменной х на интервале используется команда maximize(f,x,x=x1..x2), а для нахождения минимума функции f (x)по переменной х на интервале используется команда minimize(f, x, x=x1..x2). Если после переменной указать ’infinity’ или интервал
x=-infinity..+infinity, то команды maximize и minimize будут искать, соответственно, максимумы и минимумы на всей числовой оси как во множестве вещественных чисел, так и комплексных. Если такие параметры не указывать, то поиск максимумов и минимумов будет производиться только во множестве вещественных чисел. Пример:
> maximize(exp(-x^2),x);
Недостаток этих команд в том, что они выдают только значения функции в точках максимума и минимума, соответственно.
В версии пакета аналитических вычислений Maple 6 этот недостаток команд maximize и minimize устранен. Координаты точек максимума или минимума можно получить, если в параметрах этих команд после переменной записать через запятую новую опцию location. В результате в строке вывода после самого максимума (минимума) функции будут в фигурных скобках указаны координаты точек максимума (минимума). Например:
> minimize(x^4-x^2, x, location);
, { , }
В строке вывода получились координаты минимумов и значения функции в этих точках.
Задание 4.2.
1. Найти max и min .
> y:=(x^2-1/2)*arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/4-
Pi*x^2/12:
> extrema(y,{},x,'s');s;
После выполнения этих команд найдены экстремумы функции и точки экстремумов. Порядок следования x –координат экстремумов во второй строке вывода соответствует порядку следования значений экстремумов в первой строке вывода. Таким образом, найдены экстремумы в точках (0,0) и (1/2, –p/24+ ). Осталось выяснить, какая из них является максимумом, а какая – минимумом. Для этого используйте команды maximize и minimize.
> ymin:= minimize(y,x=0..1/2);
> ymax:= maximize(y,x=0..1/2);
Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:
“Экстремумы: , .”
Для набора математических символов и греческих букв в текстовом режиме следует нажать кнопку со значком суммы на Панели инструментов. В появившейся строке ввода формул ниже Панели инструментов следует набирать обычные команды Maple,после чего нажать Enter. Например, для отображения формулы следует набрать в строке ввода формул sqrt(3).
Для возвращения в текстовый режим снова следует нажать на кнопку с буквой «Т ».
Поэтому порядок набора второй формулы в ответе такой:
§ находясь в текстовом режиме, набрать: miny(x)=y(1/2)=;
§ нажать на кнопку
§ в строке ввода формул набрать: -Pi/24+sqrt(3)/16
§ нажать Enter;
§ вернуться в текстовый режим.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение на интервале . Наберите:
> f:=x^2*ln(x):
maximize(f,x=1..2);
> minimize(f,x=1..2);
Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:
”Наибольшее значение: , наименьшее значение min f(x)=0 “
3. Найти экстремумы функции и установить их характер с помощью второй производной. Наберите:
> restart:y:=x^3/(4-x^2): readlib(extrema):
readlib(maximize): readlib(minimize):
> extrema(y,{},x,'s');s;
{ }
{{ x =0},{ },{ }}
Получено два экстремума и три критические точки. Исследование можно продолжить с помощью второй производной:
> d2:=diff(y,x$2): x:=0: d2y(x):=d2;
d2y(0):=0
> x:=2*sqrt(3):d2y(x):=d2;
> x:=-2*sqrt(3):d2y(x):=d2;
Так как , то в точке x =0 нет экстремума; так как , то в точке будет max; так как , то в точке будет min. Перейдите в текстовый режим и запишите ответ в виде:
“Максимум в точке (), минимум в точке ()”.