Физические основы и экспериментальная база исследований процессов туннелирования.

Лабораторная работа

Исследование туннелирования заряженных частиц через одиночный потенциальный барьер.

Физические основы и экспериментальная база исследований процессов туннелирования.

Процессы, происходящие в квантово-размерных структурах, определяются волновыми свойствами электрона. Критерием перехода к размерному квантованию служит уменьшение толщины потенциального барьера (например, слоя полупроводника) до значения порядка длины волны де Бройля электрона. В этом случае главными характеристиками электрона при его движении и взаимодействии с решеткой твердого тела, которое является предметом исследований в данной работе, становятся волновые свойства этой частицы.

Из исследований по дифракции электронов при прохождении через пленки твердого тела, было определено, что длина волны электрона равна. (а де-Бройль?)

(1)

Где m, v, p - соответственно масса, скорость движения и импульс электрона, h - постоянная Планка.

Направление движения электрона обычно, как и в классической механике, определяется волновым вектором , тогда импульс электрона можно записать в виде

(2)

где .

Поскольку при движении масса электрона зависит от энергетической структуры твердого тела и направления движения его относительно кристаллографических осей, то в принципе под массой m следует понимать эффективную массу m^*, тогда формулу (1) можно записать в виде (почему?)

(3)

Где m^* - эффективная масса электрона в твердом теле, m_o – масса электрона в вакууме, а W_кин – кинетическая энергия электрона в эВ.

Для полуповодников в большинстве случаев можно принять, что m^*/m_o ≈ 0,1.

При Т = 300К кинетическая энергия W_кин = 0,026 эВ, тогда λ_g = 25 нм.

1 нм = 10 ^-9 м = 10 ^-3 мкм = 10 Ǻ (1 Ǻ = 10 ^-10 м – ангстрем).

В металлах λ_g на порядок и более меньше, чем в полупроводниках, поскольку в металлах W_кин = E_ф = 1…10 эВ.

В качестве экспериментальной модели туннелирования электронов через одиночный потенциальный барьер шириной порядка длины волны де Бройля. Такие малые размеры толщины перехода реализуются за счет высокой степени легирования областей, формирующих переход.

Поскольку исходно нам не известна степень легирования, т.е. концентрация примеси в n- и p-областях (эти данные в справочной литературе по приборам не отражаются), то эту задачу (какую?) можно решить, используя вольт-амперную характеристику. Максимум туннельного тока при прямом смещении наблюдается, когда происходит максимальное перекрытие занятых состояний в интервале энергий между дном зоны проводимости и уровнем Ферми (см. учебник «Электроника») и свободных энергий p-области с теми же значениями энергии, т.е. в интервале от уровня Ферми до потолка валентной зоны. Эта ситуация реализуется при величине приложенного напряжения U = U_п, где U_п – напряжение пика.

Таким образом, напряжение U_н можно оценить из условия максимума произведения числа заполненных состояний (произведения чего на что?) с той же (какой?) энергией в p-области. Согласно работе [2] U_п можно записать в виде

(4)

Степень вырождения (U_n) n-области можно оценить из интеграла Ферми-Дирака (?) [2]. (что такое степень вырождения? Почему степень вырождения измеряется в вольтах? (4))

(5)

Где - тепловой потенциал, равный при Т = 300К величине 0,026 эВ, N_g – концентрация атомов доноров, N_g – плотность энергетических состояний в зоне проводимости, которая для германия Ge равна N_nGe = 10¹⁹ см ^-3, а для арсенида галлия GaAs N_nGaAs = 4,7 · 10¹⁷ см ^-3.

Аналогичное выражение можно записать для выражения p-области, с заданной в формуле (5) N_g на концентрацию акцепторов N_а, а N_п на плотность энергетических состояний в р-области N_в, при этом для германия N_вGe = 6 · 10¹⁸ см ^-3 и для арсенида галлия GaAs N_вGaAs = 7 · 10¹⁷ см ^-3.

(6).

Подставляя формулы (5) и (6) в выражение (3) и беря U_п из эксперимента, для симметричного перехода можно вычислить N_g и N_а. (как из одного уравнения вычислить две величины?) Для простоты в расчетах можно принять N_g = N_а, т.е. рассматривать симметричный переход. Зная величины N_g и N_а легко определяется ширина (толщина) перехода

(7).

Где - диэлектрическая проницаемость полупроводника, для Ge = 16, а для GaAs = 13,1

- диэлектрическая постоянная вакуума = 8,85 · 10 ^-12 Ф/м.

Если известно l₀ и приложенный потенциал, то нетрудно вычислить ширину (толщину) d потенциального барьера, через который туннелируют электроны.

(8).

Где - равновесная контактная разность потенциалов, U - приложенное напряжение, равное в нашем случае U_П. (откуда это?)

(9).

Ширина запрещенной зоны при Т = 300К в германии 0,55 эВ, кремнии – 1,12 эВ, арсениде галлия – 1,424 эВ.

На рис. 2 ­­­показаны параметры, входящие в выражения (7) – (9), где МГ – металлургическая граница. При известных , d, и приложенном напряжении, (где на картинке приложенное напряжение?) т.е. известных параметрах треугольного барьера можно вычислить вероятность туннелирования. Использование приближенности ВКБ (метода Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна) приводит к следующему выражению для вероятности туннелирования Р

(10).

Где х₁ и х₂ координаты границ потенциального барьера (точки поворота), k(x) - волновой вектор электрона, туннелирование электрона, в рассматриваемом случае, через запрещенную зону идентично туннелированию через барьер.

Расчеты показывают [2], что для треугольного потенциального барьера (рис. 2) выражение для вероятности туннелирования имеет вид

(11).

Где - постоянная Планка, - напряженность электрического поля, которая для треугольного барьера будет равна E = U/d, где U – приложенное к барьеру напряжение, m^* - эффективная масса электрона. Для пикового напряжения U = U_п.

Справочные данные:

q = 1,6 · 10 ^–19 A · c – заряд электрона.

h = 6,625 Дж · с - постоянная Планка.

ΔЕ_з = 1.42·1.6·10^-19 Дж – для арсенида галлия

m^* = 0.067m₀ = 0.067·9.1·10^-31кг – эффективная масса электрона в решетке GaAs.

Для U_п = 0.5В и ширины барьера d~10нм, вероятность туннелирования Р~10^-9.

Обычно для выпускаемых туннельных диодов пиковое напряжение заметно меньше и показатель степени по абсолютной величине будет больше.