Для определения динамических характеристик объекта управления задается переходный процесс в виде графика, изображенного на рисунке 2.13. Произведя оцифровку точек на графике, заполняется таблица исходных значений и по ним строится переходный процесс (рисунок 2.14):
Используя метод наименьших квадратов, составляется уравнение касательной (2.7):
y = a + bx, (2.7)
где a, b – коэффициенты;
x – входная величина;
y – выходная величина.
Рисунок 2.13 – Переходный процесс
Для определения коэффициентов a и b составляется система уравнений (2.8):
(2.8)
где xi – входной сигнал в точке i;
yi –выходной сигнал в точке i.
Данные для нахождения уравнения касательной указаны в таблице 2.8.
Таблица 2.8 – Данные для нахождения уравнения касательной
| Точки характеристики | xi | yi | xi2 | xiyi |
| Ʃ |
1 – переходный процесс; 2 – касательная.
Рисунок 2.14 – График для определения динамических характеристик объекта
По рисунку 2.14 определяются характеристики объекта:
– по уравнению (2.9) определяется время запаздывания τз:
y = -50+2,5x,(2.9)
где x – входная величина;
y – выходная величина.
y = 0,
0 = -50+2,5x,
x = τз = 20 с;
– коэффициент передачи объекта kоб определяется по формуле (2.10):
где ∆x – изменение входной величины;
∆y – изменение выходной величины.
– используя уравнение (2.9) определяется постоянная времени Тоб по формуле (2.11):
y = 420,
-50+2,5x,
x=148.
Тоб = x- τз, (2.11)
где x = 148;
τз – время запаздывания.
Тоб=148-20=128 с;
– время переходного процесса tпер определяется в соответствии с формулой (2.12):
tпер = 2∙Tоб, (2.12)
где Tоб – постоянная времени.
tпер = 2∙128 = 256 с.
Аппроксимация моделью первого порядка
Исходные данные об объекте задаются в виде графика его переходной функции. Предполагается, что у переходной функции модели первого порядка отсутствуют колебания, т.е. она имеет качественный вид.
Передаточная функция Hм(p) имеет вид, соответствующий формуле (2.13):
где kоб – коэффициент передачи объекта;
τм – расчетное значение времени запаздывания;
p – символ дифференцирования;
Тм – расчетное значение постоянной времени.
Ей соответствует переходная функция в виде формулы (2.14):
где hм(t) – координата точки перегиба;
t – время;
kоб – коэффициент передачи объекта;
τм – расчетное значение времени запаздывания;
Тм – расчетное значение постоянной времени.
По формуле (2.15) рассчитывается коэффициент b:
где hпер = hм(tпер) – координата точки перегиба;
kоб – коэффициент передачи объекта.
По формулам (2.16), (2.17) определяются Тм и τм:
Тм = Тоб∙(1-b), (2.16)
τм = tпер.+Тм∙ln(1-b), (2.17)
где Тм – расчетное значение постоянной времени;
Tоб – постоянная времени;
b – коэффициент;
τм – расчетное значение времени запаздывания;
tпер – координата точки перегиба.
Тм = 128∙(1-0,06) = 120,32 с,
τм = 16,25+120,32∙ln(1-0,06) = 8,81 с.
Строим переходную функцию модели (рисунок 2.15), используя формулу (2.14).
1 – переходный процесс; 2 – аппроксимация первого порядка.
Рисунок 2.15 – Аппроксимация моделью первого порядка