Аппроксимация моделью второго порядка

Аппроксимация моделью второго порядка осуществляется следующими способами:

– аппроксимация двумя инерционными звеньями первого порядка с разными постоянными времени;

– аппроксимация двумя инерционными звеньями первого порядка с одинаковыми постоянными времени.

Для аппроксимации двумя инерционными звеньями первого порядка с разными постоянными времени можно выбрать передаточную функцию второго порядка с запаздыванием τ_ч и различными постоянными времени.

Передаточная функция H_м(p) имеет вид, соответствующий формуле (2.18):

 

где k_об – коэффициент передачи объекта;

τ_ч – чистое запаздывание;

p – символ дифференцирования;

Т_о1, Т_о2 – расчетные значения постоянной времени.

 

В большинстве случаев модель обеспечивает достаточную точность для практических расчетов, если принять Т_о1 /Т_о2 = 0,5 при этом постоянные времени Т_о1 и Т_о2 определяются следующим образом по ординате h(t₂) в соответствии сформулами (2.19), (2.20), (2.21):

 

h(t₂) = 0,63∙k_об, (2.19)

где k_об – коэффициент передачи объекта.

 

T_o2 = 0,64∙t₂ , (2.20)

T_o1 = 0,5∙T_o2, (2.21)

где t₂ – момент времени, определяемый по ординате h(t₂) экспериментальной переходной характеристики, t₂=126.

 

h(t₂) = 0,63∙420 = 264,6,

T_o2 = 0,64∙126 = 80,64 с,

T_o1 = 0,5∙80,64 = 40,32 с.

 

Полученный переходный процесс изображён на рисунке 2.16.

 

1 – переходный процесс; 2 - аппроксимация двумя инерционными звеньями первого порядка с разными постоянными времени.

Рисунок 2.16 – Аппроксимация двумя инерционными звеньями первого порядка с разными постоянными времени

 

Модель второго порядка с одинаковыми постоянными времени и запаздыванием имеет вид, соответствующий формуле (2.22):

 

где H_м(p) – передаточная функция;

k_об – коэффициент передачи объекта;

τ’_о – чистое запаздывание, τ’_о = τ_ч;

p – символ дифференцирования;

Т_оi – расчётное значение постоянной времени.

 

Постоянная времени Т_оi рассчитывается по формуле (2.23):

 

где Т_о – постоянная времени.

 

 

Используя формулу (2.24), рассчитывается чистое запаздывание τ’_о:

 

где τ_о – время запаздывания;

Т_о – постоянная времени.

 

.

 

Параметры данной модели однозначно выражаются через параметры Т_о и τ_о экспериментальной переходной характеристики (рисунок 2.17).

 

1 – переходный процесс; 2 – аппроксимация двумя инерционными звеньями первого порядка с одинаковыми постоянными времени.

Рисунок 2.17 – Аппроксимация двумя инерционными звеньями первого порядка с одинаковыми постоянными времени

 

Определение оптимальной передаточной функции

Для определения оптимальной передаточной функции критерием выбора является квадратичный интегральный критерий качества, характеризующий суммарную площадь, ограниченную кривой переходного процесса.

Графики, необходимые для определения оптимальной передаточной функции, представлены на рисунке 2.18.

 

Интегральная квадратичная ошибка вычисляется по формуле (2.25):

 

(2.25)

где – выходная величина аппроксимации;

– выходная величина переходного процесса.

Данные для вычисления квадратичной ошибки приведены в таблице 2.9.

 

1 – переходный процесс; 2 – аппроксимация первого порядка; 3 – аппроксимация с двумя инерционными звеньями первого порядка с разными постоянными времени; 4 – аппроксимация двумя инерционными звеньями первого порядка с одинаковыми постоянными времени.

Рисунок 2.18 – Графики для определения оптимальной передаточной функции

 

Таблица 2.9 – Определение интегральной квадратичной ошибки для различных моделей аппроксимации

Время	Переходные функции объектов и моделей	Вычисление ошибки
Исходная	1 пор.	2п.разл.Т	2п.один.Т	1 пор.	2п.разл.Т	2п.один.Т

 

Продолжение таблицы 2.9

Время	Переходные функции объектов и моделей	Вычисление ошибки
Исходная	1 пор.	2п.разл.Т	2п.один.Т	1 пор.	2п.разл.Т	2п.один.Т
Ошибка:

 

Вывод: для дальнейших расчетов выбираем аппроксимацию моделью второго порядка с разными постоянными времени, так как она имеет наименьшую квадратич