Проведем исследование модуляции при степенной аппроксимации. Исследовать будем, аппроксимировав ВАХ нелинейного элемента сначала полиномом 2-й степени, а затем полиномом 3-й степени.
Выполним аппроксимацию ВАХ полиномом 2-й степени.
Рис. 11 Аппроксимация ВАХ полиномом 2 степени
Далее, задав параметры входного сигнала (амплитуду НЧ и ВЧ сигналов, напряжение смещения), получим ярко выраженное АМ-колебание.
Рис. 12 Полученное АМ-колебание при аппроксимации полиномом 2 степени
По рисунку 12 можно определить коэффициенты а0-а2, а также определить амплитуды спектральных составляющих тока.
Подтвердим компьютерные расчеты. Найдем коэффициенты аппроксимации, вычислим спектральный состав тока НЭ, найдем коэффициент модуляции и демодуляции.
В качестве узлов аппроксимации мы выбрали точки 0,55 В; 0.6 В; 0.65 В. Ток, соответствующий напряжению 0,6В вычислим с помощью формулы:
i(0.6)=0.04+0.25(0.6-0.6)+0.333(0.6-0.6)=0.04 мА
Записываем полином второй степени, аппроксимирующий проходную ВАХ биполярного транзистора:
i(u)=а0+а1(u-0.6)+a2(u-0.6)2
Подставляя в это выражение значения тока и напряжения, получаем три уравнения для определения неизвестных коэффициентов аппроксимации a0, a1, a2:
0.025=а0+а1(0.55-0.6)+a2(0.55-0.6)2
0.04=а0+а1(0.6-0.6)+a2(0.6-0.6)2
0.05=а0+а1(0.65-0.6)+a2(0.65-0.6)2
Решив эту систему относительно неизвестных параметров, находим
a0 = 0.04 мА; a1 = 0.25 мА/В; a2 = 0.333 мА/В2
Далее вычислим спектральный состав тока:
На вход ВАХ нелинейного элемента подается сумма НЧ- и ВЧ-колебаний.
ВАХ аппроксимирована полиномом 2-й степени:
Тогда, объединив полученные формулы, сгруппировав их и выполнив тригонометрические преобразования получим представление спектрального тока в виде:
При данном типе аппроксимации мы получим амплитуды гармоник, находящиеся на частотах: нулевой частоте на частотах ω и W, (ω + W) и (ω – W), 2ω и 2W.
Подставляя в формулу для спектра тока значения, получим значения амплитуд (в скобках будем указывать частоты, на которых расположены амплитуды):
А(0) = 
= 0,0466 мА;
А(ω) = 
= 0,005 мА;
А(W) = 
= 0,05 мА;
А(ω + W) = 
= 0,00132 мА;
А(ω – W) = = 0,00132 мА;
А(2ω) = 
= 0,000066 мА;
А(2W) = 
= 0,0066 мА;
Теперь определим по спектрограмме тока коэффициент модуляции.
Амплитуда гармоники на частоте несущей равна 0,005 мА. Амплитуды боковых гармоник вычисляются по формуле M*A0/2 = 0,00132 мА.
Отсюда находим коэффициент модуляции Мi = 0,528.
Определим коэффициент модуляции по выходному напряжению колебательного контура. Вычислим это значение как отношение приращения амплитуды напряжения несущей частоты при модуляции к ее значению без модуляции.
M = UmW/Umω
Определив значения по графику получили:
UmW = 0.001501 В;
Umω = 0.00479 В;
Mu = 0.001501/0.00479 = 0.313.
Мы видим, что глубина модуляции на входе (Мi) оказалась меньше глубины модуляции на выходе (Mu). Данный эффект называют демодуляцией, а коэффициент, показывающий во сколько раз изменился коэффициент модуляции на выходе по отношению к коэффициенту на входе – коэффициентом демодуляции.
Определим коэффициент демодуляции по формуле:
D = Mu / Мi
D = 0.313 / 0.528 = 0.592
Явление демодуляции возникает в результате того, что колебательный контур, входящий в усилитель, является инерционной цепью, что не может не повлиять на параметры выходного сигнала.
Теперь посмотрим, что произойдет при аппроксимации ВАХ полиномом третьей степени.
Зададим параметры аппроксимации:
Рис. 13 Аппроксимация ВАХ полиномом 3 степени
Задав параметры входного сигнала можно наблюдать ярко выраженное АМ-колебание.
Рис. 14 Полученное АМ-колебание при аппроксимации полиномом 3 степени
Вычислим коэффициенты аппроксимации а0-а3, а также определим спектральный состав тока НЭ.
На этот раз участок проходной характеристики ВАХ транзистора представлен 4-мя точками:
| U | 0.55 | 0.6 | 0.65 | 0.72 |
| I | 0.025 | 0.032 | 0.05 | 0.1 |
В соответствии с этой таблицей находим напряжение на базе, соответствующее заданному положению рабочей точки:
U0 = (0.55 + 0.72) / 2 = 0.635
Записываем полином третьей степени, аппроксимирующий проходную ВАХ биполярного транзистора:
i(u)=а0 + а1(u-0.635) + a2(u-0.635)2 + a3(u-0.635)3
Подставляя в это выражение значения тока и напряжения, получаем четыре уравнения для определения неизвестных коэффициентов аппроксимации a0, a1, a2, a3:
0.025=а0+а1(0.55-0.635)+a2(0.55-0.635)2+ a3(0.55-0.635)3
0.032=а0+а1(0.6-0.635)+a2(0.6-0.635)2+ a3(0.6-0.635)3
0.05=а0+а1(0.65-0.635)+a2(0.65-0.635)2+ a3(0.65-0.635)3
0.1=а0+а1(0.72-0.635)+a2(0.72-0.635)2+ a3(0.72-0.635)3
Решив эту систему относительно неизвестных параметров, находим
a0 = 0,03 мА; a1 = 0,23 мА/В; a2 = 1,83 мА/В2; a3 = 7,49 мА/В3
Вычислим спектральный состав тока НЭ.
На вход ВАХ нелинейного элемента подается сумма НЧ- и ВЧ-колебаний.
ВАХ аппроксимирована полиномом 2-й степени:
Тогда, объединив полученные формулы, сгруппировав их и выполнив тригонометрические преобразования получим представление спектрального тока в виде:
На этот раз, кроме гармоник, расположенных на частотах, полученных при аппроксимации полиномом 2-й степени, будут присутствовать еще дополнительные гармоники на частотах (2ω + W) и (2ω – W), (2W+ω) и (2W – ω), 3ω и 3W.
Методика расчета аналогична методике, использованной при аппроксимации полиномом 2-й степени.
Подставляя в формулу для спектра тока значения, получим значения амплитуд (в скобках будем указывать частоты, на которых расположены амплитуды):
А(0) = 0,07 мА;
А(ω) = 0,013 мА;
А(W) = 0,09 мА;
А(ω + W) = 0,0075 мА;
А(ω – W) = 0,0075 мА;
А(2ω) = 0,00064 мА;
А(2W) = 0,036 мА;
А(3ω) = 0,00015 мА;
А(3W) = 0,014 мА;
А(2ω + W) = 0,00018 мА;
А(2ω - W) = 0,00018 мА;
А(2W + ω) = 0,004 мА;
А(2W - ω) = 0,004 мА;
Выводы
1) Статическая модуляционная характеристика отражает зависимость амплитуды первой гармоники от напряжения смещения.
2) При увеличении амплитуды несущего колебания статическая модуляционная характеристика смещается вверх.
3) Динамической модуляционной характеристикой называется зависимость коэффициента модуляции от амплитуды модулирующего напряжения.
4) При построении динамической модуляционной характеристики положение рабочей точки U0 следует выбирать на линейном участке статической модуляционной характеристики.
5) С увеличением амплитуды несущего напряжения крутизна динамической модуляционной характеристики падает.
6) Коэффициент, показывающий во сколько раз уменьшился коэффициент модуляции на выходе по отношению к коэффициенту на входе называется коэффициентом демодуляции.
7) Явление демодуляции возникает в результате того, что колебательный контур, входящий в усилитель, является инерционной цепью, что не может не повлиять на параметры выходного сигнала.
8) При аппроксимации ВАХ полиномом n-й степени (выше 1-й) появляются дополнительные гармоники на комбинационных частотах. Чем выше полином – тем больше различных гармоник появляется, т.е. происходит значительное обогащение спектра.