Урок1. Четырехугольники: параллелограмм (частные случаи), трапеция
1. Прямоугольник и его свойства
Напомним, что параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1
Рассмотрим частные случаи параллелограмма:
1. Прямоугольник. Параллелограмм, один из углов которого равен 
(см. Рис. 2).
Поскольку один угол данного параллелограмма равен , можем сделать вывод, что все углы прямоугольника составляют .
Рис. 2
Определение
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого хотя бы один угол равен
Итак, если хотя бы один угол параллелограмма равен , то это прямоугольник. Одного угла достаточно в силу свойств параллелограмма, согласно которым противоположные углы параллелограмма равны, а сумма углов при одной стороне составляет 
.
Все свойства параллелограмма присущи прямоугольникам:
- противоположные стороны равны;
- противоположные углы равны;
- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
Собственные свойства прямоугольника:
- диагонали прямоугольника равны – АС = BD.
Если в параллелограмме диагонали равны, то данный параллелограмм является прямоугольником. Чтобы доказать данный факт, нужно доказать, что хотя бы один угол заданного параллелограмма прямой.
2. Ромб и его свойства
2. Ромб. Параллелограмм, у которого соседние стороны равны (см. Рис. 3).
Чтобы нарисовать ромб, нужно провести две взаимно перпендикулярных прямых, отложить на одной из них в обе стороны равные отрезки, на другой также отложить в обе стороны равные отрезки, и соединить полученные четыре точки.
Рис. 3
Определение
Ромбом называется параллелограмм, у которого соседние стороны равны.
Ромбу, как и прямоугольнику, присущи все свойства параллелограмма:
- все стороны ромба равны по определению;
- диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам;
- противоположные углы ромба равны.
Докажем, что диагонали ромба перпендикулярны. Рассмотрим треугольник 
. Он равнобедренный, АВ = ВС, точка О – середина основания АС, т.к. диагонали ромба, как любого параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, ВО – медиана. Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой, таким образом, 
. Мы доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.
Признак ромба
Если все стороны четырехугольника равны, то данный четырехугольник – ромб.
3. Квадрат и его свойства
3. Квадрат (см. Рис. 4)
ABCD – параллелограмм. Хотя бы один угол равен – 
. Хотя бы одна пара соседних сторон равна друг другу – АВ = ВС.
Рис. 4
Если четырехугольник является квадратом, это означает, что у него все стороны равны (как у ромба), а все углы прямые (как у прямоугольника). Таким образом, квадрат – это частный случай ромба, у которого все углы прямые, и частный случай прямоугольника, у которого соседние стороны равны. Для квадрата справедливы все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
4. Трапеция, виды трапеции
Рассмотрим еще один четырехугольник – трапецию.
Определение
Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 5).
AD||BC, AB || CD.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные – боковыми сторонами. Как и у любого четырехугольника, у трапеции есть диагонали АС и BD.
Рис. 5
Частные случаи трапеции:
- Если боковые стороны трапеции равны друг другу, то она называется равнобедренной или равнобочной;
- Трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой, называется прямоугольной.
Пусть заданы пересекающиеся прямые m и n (см. Рис. 6). Точка пересечения – О. Отложим на прямой m от точки О равные отрезки длиной а, получим точки А1, А2, А3 в одну сторону и А4, А5 в другую сторону. Через полученные точки проведем параллельные прямые. Получили точки пересечения построенных параллельных прямых с прямой n: B1, B2, B3,
Рис. 6
B4, B5. Оказывается, что из равенства отрезков на прямой а вытекает равенство отрезков на прямой n – на другой стороне угла 
.
5. Теорема Фалеса, формулировка и пример
Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые так, чтобы они пересекли вторую сторону угла, то на второй стороне угла получатся также равные отрезки.
Пример: рассечь отрезок на три равные части (см. Рис. 7).
Задан отрезок АВ, требуется разделить его на три равные части.
Из точки А отложим на горизонтальной прямой три отрезка длиной а, получаем точку К. Соединим точки В и К. Через концы отложенных отрезков проводим прямые, параллельные ВК. По теореме Фалеса, мы получили равные отрезки длиной b на стороне АВ.
Рис. 7
Итак, на данном уроке мы рассмотрели частные случаи параллелограмма, а именно ромб, прямоугольник и квадрат, и их свойства. Кроме того, мы рассмотрели трапецию и ее частные случаи, вспомнили теорему Фалеса и выполнили пример.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Terver.ru (Источник).
2. Terver.ru (Источник).
3. Fmclass.ru (Источник).
Домашнее задание
1. Задание 1: диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника 
, если АВ = BD.
2. Задание 2: прямые, содержащие боковые стороны трапеции ABCD с основанием AD, пересекаются в точке М. Найдите угол 
, если 
.
3. Задание 3: докажите, что если в параллелограмме ABCD углы 
равны, то он является прямоугольником.