Кинематический расчет механизма

3.1 План механизма при рабочем и холостом ходах

Рабочий ход коромысла отличается от холостого хода наличием момента силы полезного сопротивления. При рабочем ходе коромысло вращается против часовой стрелки, и собачки поворачивают храповое колесо на угол τ = 1,04 рад.

На рис. 3.1 представлена диаграмма моментов сил сопротивлений. Начало и конец нагружения определены на плане положений механизма отложением угла поворота собачки τ от левого крайнего положения коромысла (положения 1, 2, 3, 4, 5, К).

Для определения линейных скоростей и ускорений, для построения планов скоростей и ускорений заданы размеры звеньев (ℓ_ОА, ℓ_АВ, ℓ_ОС, ℓ_ВС, ℓ_АS3, ℓ_ЕS3) и угловая скорость кривошипа ω (табл. 1.1).

Планы скоростей и ускорений строятся в последовательности, совпадающей с формулой строения механизма

1₁(1,2) 2₂(3,4)

Линейная скорость точки A рассматривается относительно оси вращения кривошипа О в механизме 1 класса (1₁(1,2)): A О, и линейные скорости внутренних точек В рассматриваются относительно А и С в структурной группе 2₂(3,4):

3.2 План скоростей

3.2.1 План скоростей при рабочем ходе (положение 5).

3.2.1.1 План скоростей для начального звена.

Векторное уравнение скорости точки A

V_А = V_О + V_АО,

где V_О − вектор линейной скорости точки О, V_О =0,

V_АО − вектор относительной скорости,

V_АО АО,

V_АО = ω₂ ∙ℓ_АО = 17 рад/с ∙ 0,175 м = 2,975 м/с,

т. е. V_А = V_АО = 2,975 м/с

Принимаем длину вектора относительно скорости на плане скоростей V_А = ра = 150 мм.

Находим масштабный коэффициент плана скоростей

μ_V = V_А ⁄ ра = 2,975 м/с ⁄ 150 мм = 0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм.

3.2.1.2. План скоростей для структурной группы.

Векторные уравнения скорости внутренней точки В:

V_В = V_А + V_ВА,

V_В = V_С + V_ВС,

где V_ВА − вектор относительной скорости точки B относительно точки A,

V_ВА ВА;

V_С − вектор линейной скорости точки С, V_С =0;

V_ВС − вектор относительной скорости точки B относительно точки С,

V_ВС ВС.

Данная система уравнений решается по правилам векторной алгебры. Сначала откладываются от полюса P векторы V_А и V_С, из концов этих векторов проводятся линии действия векторов относительных скоростей V_ВА и V_ВС до их взаимного пересечения. В их пересечении получим точку b, соединим ее с полюсом р. Проставляем направления векторов абсолютной скорости pb (от полюса), относительных скоростей V_ВА = ab и V_ВС = cb в сторону замыкающей точки b. На плане скоростей замерим длину вектора относительной скорости V_ВА = ab =128 мм.

По теореме подобия фигуры на плане звена 2 и фигуры на плане скоростей, образованной векторами относительных скоростей точки 2, 3, 4 звеньев, находим положение точек S₃, S₄, e, S₂ на плане скоростей:

as₃ = (ab∙AS₃) ⁄ AB = 149 мм ∙240 мм ⁄ 550 мм = 65 мм,

es₃ = (ab∙ES₃) ⁄ AB = 149 мм ∙125 мм ⁄ 550 мм = 33,8 мм,

рs₂ = (рa∙ОS₂) ⁄ ОA = 150 мм ∙80 мм ⁄ 175 мм = 68,6 мм,

сs₄ = (ре∙СS₄) ⁄ ВС = 83 мм ∙140 мм ⁄ 325 мм = 35,7 мм.

Найденные точки и соответствующие им векторы отложим на плане скоростей, соединим их с полюсом плана скоростей р.

3.2.1.3 Определение линейных и угловых скоростей

Из плана скоростей находим значения абсолютных и относительных скоростей точек (в м/с):

V_В = рb∙μ_V = 39 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 0,77м/c,

V_S2 = рs₂∙μ_V = 68,6 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 1,36м/c,

V_S3 = рs₃∙μ_V = 88,5 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 1,755 м/c,

V_S4 = рs₄∙μ_V = 35,8 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 0,71 м/c,

V_Е = ре∙μ_V = 83 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 1,65 м/c,

V_ВА = аb∙μ_V = 149 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 2,955 м/c,

V_ВС = bc∙μ_V = 38,8 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 0,77 м/c

V_AC = ca∙μ_V = 70 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 1,39 м/c

V_BE = eb∙μ_V = 92,7 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 1,84 м/c

 

Угловые скорости шатуна и коромысла (в 1/с²)

ω₃ = V_ВА ⁄ L_АВ = 2,955 м/с ⁄ 0,55 м = 5,37 1/c,

ω₄ = V_ВС ⁄ L_ВС = 0,77 м/с ⁄ 0,325 м =2,37 1/c.

Переносом векторов относительной скорости ab и bc в точку B на плане механизма, узнаем направление угловых скоростей шатуна и коромысла: ω₃ и ω₄ − направлены против часовой стрелки.

3.2.2 План скоростей для холостого хода (положение 9)

Построение, расчеты аналогичны построениям и расчетам в положении 2.

Векторное уравнение скорости точки A

V_А = V_О + V_АО,

где V_О − вектор линейной скорости точки О, V_О =0,

V_АО − вектор относительной скорости,

V_АО АО,

V_АО = ω₂ ℓ_АО = 17 рад/c ∙ 0,175 м = 2,975 м/с,

т. е. V_А = V_АО = 2,975 м/с.

Принимаем длину вектора относительно скорости на плане скоростей V_А = ра = 150 мм.

Находим масштабный коэффициент плана скоростей

μ_V = V_А ⁄ ра = 2,975 м/с ⁄ 150 мм = 0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм.

3.2.1.3. План скоростей для структурной группы (3,4).

Векторные уравнения скорости внутренней точки В:

V_В = V_А + V_ВА,

V_В = V_С + V_ВС,

где V_ВА − вектор относительной скорости точки B относительно точки A,

V_ВА ВА;

V_С − вектор линейной скорости точки С, V_С =0;

V_ВС − вектор относительной скорости точки B относительно точки С,

V_ВС ВС.

Данная система уравнений решается по правилам векторной алгебры. Сначала откладываются от полюса P векторы V_А и V_С, из концов этих векторов проводятся линии действия векторов относительных скоростей V_ВА и V_ВС до их взаимного пересечения. В их пересечении получим точку b, соединим ее с полюсом р. Проставляем направления векторов абсолютной скорости pb (от полюса), относительных скоростей V_ВА = ab и V_ВС = cb в сторону замыкающей точки b. На плане скоростей замерим длину вектора относительной скорости V_ВА = ab =24,7 мм.

По теореме подобия фигуры на плане звена 9 и фигуры на плане скоростей, образованной векторами относительных скоростей точки 2, 3, 4 звеньев, находим положение точек S₃, S₄, e, S₂ на плане скоростей:

as₃ = (ab∙AS₃) ⁄ AB = 69 мм ∙240 мм ⁄ 550 мм = 30,1 мм,

es₃ = (ab∙ES₃) ⁄ AB = 69 мм ∙125 мм ⁄ 550 мм = 15,6 мм,

рs₂ = (рa∙ОS₂) ⁄ ОA = 150 мм ∙80 мм ⁄ 175 мм = 68,6 мм,

сs₄ = (ре∙СS₄) ⁄ ВС = 117 мм ∙140 мм ⁄ 325 мм = 50,4 мм.

Найденные точки и соответствующие им векторы отложим на плане скоростей, соединим их с полюсом плана скоростей р.

3.2.1.3 Определение линейных и угловых скоростей

Из плана скоростей находим значения абсолютных и относительных скоростей точек (в м/с):

V_В = рb∙μ_V = 102,5 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 2,033 м/с,

V_S2 = рs₂∙μ_V = 68,6 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 1,36 м/с,

V_S3 = рs₃∙μ_V = 127 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 2,52 м/с,

V_S4 = рs₄∙μ_V = 50,4 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 1 м/с,

V_Е = ре∙μ_V = 117 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 2,32 м/с,

V_ВА = аb∙μ_V = 69 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 1,37 м/с,

V_ВС = bc∙μ_V = 102,5 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 2,033 м/с.

V_AC = ca∙μ_V = 33,9 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 0,674 м/с

V_BE = eb∙μ_V = 41,8 мм ∙0,01983 м∙с^-1 ⁄ мм = 0,83 м/с

Угловые скорости шатуна и коромысла (в 1/с²)

ω₃ = V_ВА ⁄ L_АВ = 1,37 м/с ⁄ 0,55 м = 2,49,

ω₄ = V_ВС ⁄ L_ВС = 2,033 м/с ⁄ 0,325 м = 6,255.

Переносом векторов относительной скорости ab и bc в точку B на плане механизма, узнаем направление угловых скоростей шатуна и коромысла: ω₃ и ω₄ − направлены по часовой стрелки.

Результаты расчетов сводим в таблицу 3.1

Таблица 3.1

Скорости точек и звеньев механизма

№	Ход механизма	VA	VB	VS2	VS3	VS4	VE	VBC	VBA	ω3	ω4
м ⁄ с	рад ⁄ с
	рабочий	2,9	0,7	1,6	1,3	1,7	0,7	2,9	0,7	5,3	2,3
	холостой	2,9	2,0	2,3	1,3	2,5		1,3	2,0	2,4	6,2

3.3 План ускорений

3.3.1 План ускорений при рабочем ходе (положение 5)

Ускорение точки A относительно оси вращения кривошипа O

а_А = а_О + а_АOⁿ + a_AO^t,

где а_О - вектор ускорения точки O, а_О = 0;

а_АOⁿ − вектор нормального относительного ускорения точки A относительно точки O,

а_АOⁿ = ω₂²∙L_AO = ( 17 рад/с)² ∙ 0,175 м = 50,575 м/c²,

где а_АOⁿ − вектор тангенциального относительного ускорения точки A относительно точки О,

a_AO^t АО, a_AO^t = 0,

т.к. ω₂ =const.

В нашем случае а_А = а_АOⁿ. Принимаем чертежную длину вектора а_ВАⁿ = ра = 100 мм.

Масштабный коэффициент плана ускорений

μ_а = a_A ⁄ ра = 50,575 м/c² ⁄ 100 мм = 0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм,

Ускорение точки B в структурной группе 2₂(3,4) относительно крайних точек А и С

а_В = а_А + а_ВАⁿ + a_ВА^t,

а_В = а_С + а_ВСⁿ + a_ВС^t,

где а_ВАⁿ − вектор нормального относительного ускорения а_ВАⁿ,

а_ВАⁿ = ω₃²∙L_ВА = ( 5,37 рад/с) ²∙0,55 м = 15,86 м/c²;

a_ВА^t − вектор тангенциального относительного ускорения a_ВА^t;

а_ВСⁿ − вектор нормального относительного ускорения а_ВСⁿ;

а_ВСⁿ = ω₄²∙L_ВС = ( 2,37 рад/с) ²∙0,325 м = 1,83 м/c²;

а_ВС^t − вектор тангенциального относительного ускорения а_ВС^t;

Длины векторов равны:

an₃ = a_BAⁿ ⁄ μ_а = 15,86 м/c² ⁄ 0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 31,96 мм,

pn₄ = a_BCⁿ ⁄ μ_а = 1,83 м/c² ⁄ 0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 3,62 мм.

Порядок построения плана ускорений:

1. Из полюса откладываем известные векторы a_A = pa, a_BCⁿ = an₃ и проведем линию действия вектора a_ВА^t из точки n₃.

2. Из полюса откладываем известные векторы а_С = 0, a_BCⁿ = рn₄ и проводим линию действия вектора а_ВС^t из точки n₄ до пересечения с линией действия вектора a_ВА^t.

3. На пересечении линий действия векторов a_ВА^t и а_ВС^t получим точку b, соединим ее с полюсом р ис точкой а на плане ускорений.

Ускорения центров масс звеньев S₂, S₃, S_4, и точки С находим на плане ускорений, используя теорему о подобии фигур:

eS₃ = ab∙ES₃ ⁄ AB = 38 мм ∙ 125 мм ⁄ 550 мм = 8,64 мм,

aS₃ = ab∙AS₃ ⁄ AB = 38 мм ∙ 240 мм ⁄ 550 мм = 16,58 мм,

pS₂ = pa∙OS₂ ⁄ OA = 100 мм ∙ 80 мм ⁄ 175 мм = 75 мм,

pS₄ = pb∙CS₄ ⁄ BC = 65 мм ∙ 140 мм ⁄ 325 мм = 28 мм,

Полученные точки соединим с полюсом p.

Абсолютные и полные относительные ускорения точек звеньев механизма:

a_B = pb∙μ_a = 65 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 32,87 м/с²,

a_S2 = pS₂∙μ_a = 45,71 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 23,11 м/с²,

a_S3 = pS₃∙μ_a = 84,5 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 42,73 м/с²,

a_S4 = pS₄∙μ_a = 28 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 14,16 м/с²,

a_E = pe∙μ_a = 90 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 45,5 м/с²,

a_AB = ab∙μ_a = 38 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 19,22 м/с²,

a_BC = bc∙μ_a = 65 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 32,87 м/с².

Тангенциальные ускорения звеньев:

a_АВ^t = μ_a∙n₃b = 22 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 11,265 м/с²,

a_ВC^t = μ_a∙n₄b = 65 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 32,87 м/с².

Угловые ускорения звеньев:

ε₃ = a_АВ^t ⁄ L_АВ = 11,265 м/с² ⁄ 0,55 м = 20,48 рад/с²,

ε₄ = a_ВС^t ⁄ L_ВС = 32,87 м/с² ⁄ 0,325 м = 101,14 рад/с².

Угловые ускорения звеньев 3 и 4 направлены по часовой стрелке.

Построение плана ускорений для холостого хода аналогично построению плана ускорений для рабочего. Результаты расчета сводим в таблицу 3.2.

3.3.2 План ускорений при холостом ходе (положение 11)

Ускорение точки A относительно оси вращения кривошипа O

а_А = а_О + а_АOⁿ + a_AO^t,

где а_О - вектор ускорения точки O, а_О = 0;

а_АOⁿ − вектор нормального относительного ускорения точки A относительно точки O,

а_АOⁿ = ω₂²∙L_AO = ( 17 рад/c) ²∙0,175 м = 50,575 м/c²,

где а_АOⁿ − вектор тангенциального относительного ускорения точки A относительно точки О,

a_AO^t АО, a_AO^t = 0,

т.к. ω₂ =const.

В нашем случае а_А = а_АOⁿ. Принимаем чертежную длину вектора а_ВАⁿ = ра = 100 мм.

Масштабный коэффициент плана ускорений

μ_а = a_A ⁄ ра = 50,575 м/c² ⁄ 100 мм = 0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм,

Ускорение точки B в структурной группе 2₂(3,4) относительно крайних точек А и С

а_В = а_А + а_ВАⁿ + a_ВА^t,

а_В = а_С + а_ВСⁿ + a_ВС^t,

где а_ВАⁿ − вектор нормального относительного ускорения а_ВАⁿ,

а_ВАⁿ = ω₃²∙L_ВА = ( 5,37 рад/c) ²∙0,55 м = 15,86 м/c²;

a_ВА^t − вектор тангенциального относительного ускорения a_ВА^t;

а_ВСⁿ − вектор нормального относительного ускорения а_ВСⁿ;

а_ВСⁿ = ω₄²∙L_ВС = ( 2,37 рад/c) ²∙0,325 м = 1,83 м/c²;

а_ВС^t − вектор тангенциального относительного ускорения а_ВС^t;

Длины векторов равны:

an₃ = a_BAⁿ ⁄ μ_а = 15,86 м/c² ⁄ 0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 7,78 мм,

pn₄ = a_BCⁿ ⁄ μ_а = 1,83 м/c² ⁄ 0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 36,8 мм.

Порядок построения плана ускорений:

1. Из полюса откладываем известные векторы a_A = pa, a_BCⁿ = an₃ и проведем линию действия вектора a_ВА^t из точки n₃.

2. Из полюса откладываем известные векторы а_С = 0, a_BCⁿ = рn₄ и проводим линию действия вектора а_ВС^t из точки n₄ до пересечения с линией действия вектора a_ВА^t.

3. На пересечении линий действия векторов a_ВА^t и а_ВС^t получим точку b, соединим ее с полюсом р ис точкой а на плане ускорений.

Ускорения центров масс звеньев S₂, S₃, S_4, и точки С находим на плане ускорений, используя теорему о подобии фигур:

eS₃ = ab∙ES₃ ⁄ AB = 82 мм ∙ 65 мм ⁄ 550 мм = 18,64 мм,

aS₃ = ab∙AS₃ ⁄ AB = 82 мм ∙ 240 мм ⁄ 550 мм = 35,78 мм,

pS₂ = pa∙OS₂ ⁄ OA = 100 мм ∙ 80 мм ⁄ 175 мм = 45,71 мм,

pS₄ = pb∙CS₄ ⁄ BC = 90 мм ∙ 140 мм ⁄ 325 мм = 38,8 мм,

Полученные точки соединим с полюсом p.

Абсолютные и полные относительные ускорения точек звеньев механизма:

a_B = pb∙μ_a = 90 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 45,52 м/с²,

a_S2 = pS₂∙μ_a = 45,71 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 23,11 м/с²,

a_S3 = pS₃∙μ_a = 86,5 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 43,75 м/с²,

a_S4 = pS₄∙μ_a = 38,8 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 49,6 м/с²,

a_E = pe∙μ_a = 105 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 53,1 м/с²,

a_AB = ab∙μ_a = 82 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 41,37 м/с²,

a_BC = bc∙μ_a = 90 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 45,52 м/с².

Тангенциальные ускорения звеньев:

a_АВ^t = μ_a∙n₃b = 82 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 41,47 м/с²,

a_ВC^t = μ_a∙n₄b = 86,5 мм ∙0,50575 м∙с^-2 ⁄ мм = 43,75 м/с².

Угловые ускорения звеньев:

ε₃ = a_АВ^t ⁄ L_АВ = 41,47 м/с² ⁄ 0,55 м = 75,4 рад/с²,

ε₄ = a_ВС^t ⁄ L_ВС = 43,75 м/с² ⁄ 0,325 м = 134,61 рад/с².

Угловое ускорение звена 3 направлено против часовой стрелки, а 4 – по часовой.

Таблица 3.2

Ускорения точек и звеньев механизма

№ положения	Ход механизма	аА	аВ	аS2	аS3	аS4	аЕ	аАВ	аВС	ε3	ε4
м/с2	рад/с2
	рабочий	50,5	32,8	23,1	42,7	14,1	45,5	19,2	32,8	20,4	101,1
	холостой	50,5	45,5	23,1	43,7	49,6	53,1	41,4	45,5	75,4	134,6

3.4 Погрешности кинематического расчета

Определяем погрешности угловых скоростей и ускорений коромысла, найденных методом планов. За точные значения скоростей и ускорений принимаем данные расчетов, полученных на компьютере при построении кинематических диаграмм. Результаты расчетов и сравнений сведем в таблицу 3.3.

Таблица 3.3

Погрешности расчета скоростей и ускорений

Кинематический параметр, размерность	Номер положения механизма	Величина параметров	Относительная погрешность δ (%)
Точное значение	По методу планов
ω4(2), 1/c		2,45535	2,37	3,4
ω4(9), 1/c		6,39152	6,253	2,2
ε4(2), 1/c2		101,47350	101,1	0,43
ε4(9), 1/c2		135,23644	134,6	0,47

Относительная погрешность угловой скорости и ускорения коромысла во 2-ом положении

δ ω_{4(2 )} = ((ω₄₍₂₎ (ан) − ω₄₍₂₎ (пл)) ⁄ ω₄₍₂₎ (ан)) 100% =

= ((2,45535 – 2,37) ⁄ 2,45535) 100% = 3,4 %

δ ε₄₍₂₎ = ((ε₄₍₂₎ (ан) − ε₄₍₂₎ (пл)) ⁄ ε₄₍₂₎ (ан)) 100% =

= ((101,47350 − 101,1) ⁄ 101,47350) 100% = 0,43 %

Аналогичные расчеты проводятся и для 11-го положения.