1. Графический
Можно построить 2 графика, соответствующие данным уравнениям и найти координаты точек пересечения.
Минус этого метода в том, что точки пересечения могут быть не в целых координатах, и по графику точные значения чисел х и у сложно определить.
2. Метод подстановки
Алгоритм:
1) Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы.
2) Подставить полученное выражение в другое уравнение системы.
3) Решить полученное уравнение.
4) Найти соответствующее значение другой переменной.
5) Записать ответ в виде пар значений (х; у).
Пример:
х = 5 - 3у - выразили х через у из первого уравнения системы
(5 - 3у) · у = 2 - подставили полученное выражение вместо х во второе уравнение
5у – 3у2 = 2 - раскрыли скобки
3у2 – 5у + 2 = 0 - перенесли все слагаемые в одну часть
D = 25 - 4·3·2= 25 – 24 = 1 - вычислили дискриминант
у1 = (5+1):6 = 1; у2 = (5-1):6 = - нашли корни уравнения
Подставляем поочередно каждое из найденных значений у в выражение х = 5 - 3у
х1 = 5 – 3·1 = 2; х2 = 5 – 3· = 3
Ответ: (2; 1), (3; ) - не забываем, что сначала записывается х, потом у.
3. Метод алгебраического сложения
Суть метода в том, чтобы путем сложения избавиться от одной из переменных. Для этого перед данной переменной нужно иметь в обоих уравнениях противоположные коэффициенты.
Пример:
– 6у – у = – 10 + 2
–7у = –8
у =
2х = 2
2х = 2
2х =
х = Ответ:
4. Метод введения новой переменной
Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах.
Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы.
Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.
Рассмотрим эти случаи на примерах.
Первый вариант:
Введем новую переменную t = , тогда .
Решим первое уравнение относительно переменной t.
- Все слагаемые перенесли в левую часть, приводим к общему знаменателю
ОДЗ: t 0
- Оба корня удовлетворяют ОДЗ
Обратная замена: => х = 2у или => у = 2х
Подставляем полученные выражения поочередно во второе уравнение.
|
Тогда х1 = 2 х2 = -2
Ответ: (2; 1), (-2; -1)
Второй вариант:
Вводим две новые переменные: Тогда
Решим систему с новыми неизвестными:
- решаем методом алгебраического сложения
Тогда b = 2 – 1 = 1.
Обратная замена:
=> =>
Тогда
Ответ:
Системы неравенств
Несколько неравенств с одной переменной х образуют систему неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, при которых каждое из заданных неравенств с переменной обращается в верное числовое неравенство.
Любое такое х называют решением системы неравенств.
Алгоритм решения систем неравенств:
1) Решить каждое неравенство, входящее в систему по отдельности.
Решением каждого неравенства является какое-то числовое множество.
2) Найти общее решение, т.е. найти пересечение найденных числовых множеств.
Пример:
- решим каждое из линейных неравенств отдельно
2х > 4 3x < 9
x > 2 x < 3
Изобразим эти числовые множества на координатных прямых друг под другом:
Ответ: (2; 3)