Задание 7. Алгебраические выражения
Одночлен – алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел и букв.
Одночлен записан в стандартном виде, если его больше нельзя упростить.
Одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью.
Коэффициент Буквенная часть
Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.
Складывать и вычитать можно только подобные одночлены!
Правило приведения подобных слагаемых:
Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Многочлен – алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов.
Многочлен записан в стандартном виде, если:
1. каждый его член — одночлен стандартного вида,
2. многочлен не содержит подобных членов,
Умножить многочлен на одночлен: -0,3а2·(ab2 – 5) = -0,3a3b2 + 1,5a2
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, и, если есть такая возможность, привести результат к многочлену стандартного вида.
Пример: (2b – 0,3а2)· (ab2 – 5) = 2ab3 – 10b – 0,3a3b2 + 1,5a2
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно просто опустить скобки. Пример: 3 + (5х – у) = 3 + 5х – у
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», нужно опустить скобки и этот знак «–», а у всех слагаемых, стоявших в скобках, поменять знаки на противоположные. Пример: 3 – (5х – у) = 3 – 5х + у
Обратный процесс называется вынесением минуса за скобки.
Два выражения, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными выражениями.
Например: а+b и –a–b – противоположные выражения, т.к. –a–b = –(a+b)
а–b и –a+b – противоположные выражения, т.к. –a+b = –(a–b)
Способы разложения многочлена на множители
1) Вынесение общего множителя за скобки. a b 
a c = a · (b 
c)
Пример: 12y3 – 20y2 = 4у2 (3у – 5)
Применение формул сокращённого умножения.
→ a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 - квадрат суммы
→ a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 - квадрат разности
→ a2 – b2 = (a – b)(a + b) - разность квадратов
→ a3 +b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) - сумма кубов
→ a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) - разность кубов
Метод группировки
Разберем на примере:
– ху + 5у + 3х – 15 = - сгруппируем по парам в том порядке, как они стоят
= (– ху + 5у) + (3х – 15) = - нужно так вынести общие множители из скобок,
чтобы выражения в скобках оказались одинаковыми
= – у(х – 5) + 3(х – 5) = - выносим (х – 5) за скобки как общий множитель
= (х – 5)(– у + 3) = (х – 5)(3 – у)
Разложение на множители квадратного трёхчлена
Квадратный трехчлен ax2 + bx + c может быть разложен на множители первой степени следующим образом:
1) Находим корни уравнения ax2 + bx + c = 0
2) Если корня два x1 и x2, то ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Если корень один (понимать как два одинаковых) х0,
то ax2 + bx + c = a(x – x0)(x – x0) = a(x – x0)2
Если корней нет, то данный трехчлен на множители не раскладывается.
Алгебраическая дробь – это дробь вида 
.
Сокращение дробей
Сокращение алгебраических дробей, как и в случае с обыкновенными дробями, происходит с опорой на основное свойство дроби.
Важно! Прежде, чем сокращать алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители.
Сложение и вычитание дробей
Прежде нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно:
1. разложить знаменатели на множители;
2. Привести дроби к общему знаменателю и определить дополнительные множители для каждой из дробей (дополнительными множителями будут те, которых нет в своем знаменателе, но есть в знаменателе другой дроби)
3. умножить числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель.
При сложении или вычитании дробей складывают или вычитают числители, а знаменатель оставляют прежним.
Пример 1: Привести дроби 
к общему знаменателю.
1) Знаменатели дробей уже представляют собой произведение.
2) Приводим их к общему знаменателю 42ас2x.
Определяем дополнительные множители: 
3) 
Пример 2: 
1) 
2), 3) 