Построение линий влияния опорных моментов кинематическим методом

Лекция 16.

«Расчет неразрезных балок»

Учебные вопросы:

Расчет неразрезной балки методом сил. Уравнение трех моментов

Построение линий влияния опорных моментов кинематическим методом

Расчет неразрезной балки на действие постоянных и временных нагрузок

Построение объемлющей эпюры изгибающих моментов

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16.1. Расчет неразрезной балки методом сил. Уравнение трех моментов

Неразрезной балкой называется статически неопределимая балка, опирающаяся в пролете на конечное число шарнирных опор. Крайние сечения неразрезной балки могут быть свободны, заделаны или шарнирно оперты. Одна из опор неразрезной балки имеет связь, препятствующую смещению балки вдоль ее оси.

Расчет неразрезной балки (рис.16.1, а) можно выполнить, как и любой статически неопределимой системы методом сил. Основ­ную систему для расчета неразрезной балки получим, удалив из нее связи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений бал­ки над ее опорами, т.е. поместив шарниры в опорных сечениях балки (рис.16.1, б).

Неизвестными являются изгибающие моменты, возникающие в сечении неразрезной балки над опорами.

Выделим из основной системы четыре примыкающих друг к другу пролета со средней опорой номером n и построим единичные и грузовые эпюры (рис.16.2). Из анализа единичных эпюр видно, что в любом каноническом уравнении только три единичных коэф­фициента будут отличны от нуля. Напишем одно из канонических уравнений в общем виде:

. (16.1)

Подсчитаем единичные и грузовые коэффициенты, применяя правило Верещагина «перемножения» эпюр:

(16.2)

Подставим найденные коэффициенты в (16.1), получим:

(16.3)

В случае балки постоянного сечения J ₁ = J ₂ =...= J_n = J_{n +1} и введя обозначения X_{n -1} = M _{n -1}; X_n = M_n; X_{n +1} = M_{n+ 1}, получим:

. (16.4)

Это и есть уравнение трех моментов для неразрезной балки постоянного сечения. В этом урав­нении неизвестными являются из­гибающие моменты на опорах. Если у неразрезной балки все опоры шар­нирные, то таких уравнений можно составить столько, сколько у балки промежуточных опор.

При наличии на концах балки нагруженных консолей, изгибающие моменты на крайних опорах войдут в уравнение трех моментов, как из­вестные величины, а при отсутствии консолей эти моменты будут равны 0.

Рис.16.1

 

Рис.16.2

Если конец неразрезной балки защемлен, то для применения уравнения (16.4) необходимо, отбросив заделку, ввести с ее сто­роны дополнительный пролет =0 (рис.16.2). Такая системабудет деформироваться также, как балка с жесткой заделкой.

Решая совместно, составленные таким образом уравнения, найдем все неизвестные изгибающие моменты на опорах. Далее для построения эпюр M и Q, каждый пролет неразрезной балки рассматриваем как балку на двух шарнирных опорах, загруженных внешней нагрузкой и двумя опорными моментами. Ординаты эпюр могут быть подсчитаны по формулам:

(16.5)

где и - ординаты эпюр М и Q от внешней нагрузки в основной системе.

Чтобы убедиться в правильности построения эпюр М и Q необ­ходимо провести проверку равновесия неразрезной балки по уравнениям: ; .

Для этого следует определить вертикальные опорные реакции неразрезной балки, используя эпюру Q:

. (16.6)

 

Построение линий влияния опорных моментов кинематическим методом

Для построения линии влияния какого-либо усилия кинематическим методом необходимо в сооружении нарушить ту связь, которая передает это усилие, и заменить нарушенную связь усилием . В полученной основной системе перемещение по направле­нию нарушенной связи от действия подвижной одиночной силы и усилия должно равняться нулю:

, (16.7)

Откуда .

Учитывая, что на основании теоремы о взаимности перемеще­ний , окончательно получим:

, (16.8)

где - перемещение по направлению подвижной единичной нагрузки от усилия S_i = 1.

Рис.11.3

 

Например, если необходимо определить линию влияния опорного момента в n -ом опорном сечении многопролетной балки, расчетная схема заданной и основной системы принимает вид, показанный на рис.16.3.

Если подвижная единичная сила занимает произвольное положение, то представляет собой эпюру перемещений (упругую линию) основной системы от усилия = 1.

Перемещение от усилия = 1 по направлению этого же усилия является величиной постоянной и называется масштабом эпюры перемещений.

Изобразив примерный вид упругой линии основной системы от усилия , получим очертание линии влияния усилия , так на­зываемую модель линии влияния . Таким образом, кинематический метод дает возможность быстро получить внешний вид (модель) любой линии влияния.

Для построения линии влияния усилия необходимо вычислить ординаты упругой линии основной системы от усилия и поделить их на постоянную величину (- ).

Рассмотрим примеры построения линий влияния усилий в неразрезной балке кинематическим методом. Применим кинематический метод к построению линии влияния опорного момента М ₂ неразрезной балки (рис.16.4, а).

Для получения основной системы в сечение балки над опорой 2 введем шарнир и заменим нарушенную связь парными мо­ментами М ₂ = 1 (рис.16.4, в). Уравнение совместности деформаций имеет вид , из которого следует, что

. (16.9)

В основной системе каждый пролет можно представить как балку на двух шарнирных опорах, нагруженную одним или двумя опорными моментами.

Уравнения прогибов и углов поворота для балки на двух опорах с одним опорным моментом М = 1 (см. рис.16.5) можно легко рассчитать методом начальных параметров. Вводя обозначение , получим:

(16.10)

Для облегчения подсчета ординат эпюры прогибов М_{P 2}на рис.16.5 показана упругая линия балки на двух шарнирных опорах, нагруженной одним опорным моментом М =1, и указаны углы поворота на опорах и прогибы через0,2 l.

Как видно из рис.16.4, б, (n = 2) перемещение представляет собой взаимный угол поворота двух смежных сечений основной системы на опоре n = 2. Этот угол можно подсчитать также, ис­пользуя упругую линию балки на двух опорах, показанную на рис.16.5.

Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 2) для определения изгибающих моментов на опорах от действия М ₂ =1:

(16.11)

Учитывая, что М ₀ = М ₅ = 0, а также, что M ₂ = 1,получаем:

Рис.16.4

 

Рис.16.5

 

Решив эту систему, получим М ₁ = -20/70 = -0,286кН×м. Подставим значение М ₁ вовторое и третье урав­нения и умножим последнее на -5 и сложим со вторым, получим последовательно:

3 - 33× М ₄ = 0, т.е. М ₄ = 3/33 = 0,091кН×м и 2 М ₃ = -7/11, или М ₃= -7/22 = -0,318 кН×м.

По данным рис.16.3 подсчитаем взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 2:

Используя рис.16.5, вычислим для каждого пролета ординаты эпюры моментов (упругой линии) основной системы . Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл.16.1, где следует учесть, что ординаты линии влияния умножены на EJ).

Поясним методику заполнения таблицы.

Основная система расчленяется на балки на двух опорах при действии двух опорных моментов М_лев и М_прав.. По принципу независимости деформаций Бетти, прогибы балки подсчитываются независимо, как сумма прогибов от действия одного опорного момента (см. рис.16.5 или формулы 16.3):

,

где .

Таким образом, заполняются столбцы 3, 4 и 5 таблицы 16.1. В столбце 6 записываются ординаты линии влияния М ₂, подсчитан­ные по формуле (16.10). На рис.16.5, д приведена линия влияния М ₂.

Для построения линий влияния изгибающих моментов и поперечных сил в сечении неразрезной балки используются зависимости:

; (16.12)

(16.13)

где и - ординаты эпюр М_k и Q_k от внешней нагрузки в се­чении к балки пролетом l_n на двух шарнирных опорах; M_n и M_{n -1} - линии влияния опорных моментов неразрезной балки.

Таблица 16.1

Часть балки	Сечение	Момент на опоре приложен слева, Mлев.	Момент на опоре приложен справа, Mправ.	Момент на опоре приложен и слева и справа	Ординаты линии влияния, М2
Пролет 0-1	0,2 0,4 0,6 0,8 1,0		-2,0592 -3,6063 -4,1184 -3,0888	-2,0592 -3,6063 -4,1184 -3,0888	0,1458 0,2551 0,2916 0,2187
Пролет 1-2	0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	-5,4912 -7,3216 -6,4046 -3,6608	12,800 22,400 25,600 19,200	7,3083 15,078 19,194 15,539	-0,1575 -1,0676 -1,3590 -1,1003
Пролет 2-3	0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	43,200 57,600 50,400 28,800	-9,158 -16,027 -18,317 -13,738	34,042 41,573 32,083 15,062	-2,4104 -2,9436 -2,2717 -1,0665
Пролет 3-4	0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	-6,1056 -8,1408 7,1232 4,0704	1,1648 2,0384 2,3296 1,7472	-4,9408 -6,1024 -4,7936 -2,3232	0,3498 0,4321 0,3394 0,1645
Пролет 4-5	0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	0,9828 1,3104 1,1466 0,6552		0,9828 1,3104 1,1466 0,6552	-0,0696 -0,0928 -0,0812 -0,0464

Ординаты линии влияния опорной реакции R_n подсчитываются по формуле:

, (16.14)

где - линия влияния реакции шарнирной балки n, если эту эпюру рассматривать как общую для двух простых балок пролетом l_n и l_{n +1}.

На рис.16.3, е, ж приведены линии влияния опорных реакций и для неразрезной балки, приведенной на рис.16.3, а.