Расчет неразрезной балки на действие постоянных и временных нагрузок

Для неразрезной балки постоянного поперечного сечения (рис.16.6, а) требуется:

1. Построить эпюру изгибающих моментов от заданной постоянной нагрузки с помощью уравнений трех моментов;

2. Построить линии влияния опорных изгибающих моментов М ₁, М ₂ и изгибающего момента в сечении, расположенном посередине пролета l ₂;

3. По линиям влияния, полученным в п.16.2 проверить ординаты эпюры М, полученной в п.11.1;

4. От временной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q = 10 кН/м (может располагаться с разрывами в нескольких і пролетах балки) и заданной постоянной нагрузки построить объемлющую эпюру изгибающих моментов для пролета l ₂.

Решение:

1. Построение эпюры изгибающих моментов

Для составления уравнений трех моментов получим основную систему путем введения в заданную неразрезную балку шарниров над всеми промежуточными опорами, предварительно заменив заделку дополнительным пролетом длиной l ₄ =0. Кроме того, заменим консоль с нагрузкой внешним сосредоточенным моментом М ₀. Полученная основная система показана на рис.16.6, б. Напишем уравнения трех моментов для промежуточных опор:

(16.15)

В этих уравнениях: кНм; ; .

Построим эпюру изгибающих моментов в основной системе от заданной внешней нагрузки. Она представляет собой сочетание эпюр изгибающих моментов для всех пролетов балки, если каждый из них рассматривать как балку на двух шарнирных опорах. Указанная эпюра показана на рис.16.6, в. Используя эту эпюру, найдем фиктивные опорные реакции (увеличенные в EJ раз) для каждого пролета балки:

кН×м2;

Подставляя все известные числовые величины в систему уравнений (16.15), получим:

После несложных преобразований получим:

(16.16)

Умножив обе части второго уравнения на 2 и вычитая третье уравнение, получим:

Рис.16.6

Учитывая первое уравнение системы (16.16), получим:

(16.17)

Решая полученную систему, найдем:

кН×м; кН×м.

Подставляя значение М ₂ в третье уравнение системы (16.16), найдем:

кН×м.

Для проверки решения подставим найденные величины М ₁, М ₂ и М₃ в каждое из уравнений системы (16.16):

Результаты проверки подтверждают правильность нахождения неизвестных М ₁, М ₂ и М ₃. По полученным данным построим эпюру опорных моментов (на рис.16.6, г показана пунктиром). Отложив от пунктирной линии ординаты эпюры изгибающих моментов в основной системе, которая показана на рис.16.6, в, получим эпюру изгибающих моментов от постоянной внешней нагрузки для заданной неразрезной балки (рис.16.6, г).

2. Построение линий влияния опорных моментов М₁ и М₂ и изгибающего момента в сечении, расположенном посередине пролета l₂

Согласно общей методике, изложенной в п.16.2 для построения линий влияния М₁ кинематическим методом, необходимо в балке нарушить ту связь, которая передает это усилие, и заменить нарушенную связь моментом М₁.

Изобразив, примерный вид упругой линии основной системы от усилия М₁ = 1, получим модель линии влияния момента М₁.

Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 1) для определения изгибающих моментов на опорах от действия М₁ = 1:

Учитывая, что l₄ = 0, а М₁ = 1, получим:

Из второго уравнения имеем: М₂ = -2 М₃.

Подставим это значение в первое уравнение получим:

, откуда кН×м.

Далее кН×м.

По данным рис.16.3 подсчитаем взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 1:

Расчеты будем вести в табличной форме (табл.16.2, где ординаты линии влияния умножены на число EJ).

Таблица 16.2

Часть балки	Сечение	Момент на опоре приложен слева	Момент на опоре приложен справа	Момент на опоре приложен и слева и справа	Ординаты линии влияния, М₁
Пролет 0-1	0,25 0,50 0,75 1,0		0,4925 0,7776 0,6739	0,4925 0,7776 0,6739	0,17533 0,28050 0,24542
Пролет 1-2	0,25 0,50 0,75 1,0	1,8720 2,1600 1,7280	-0,5400 -0,6750 -0,5850	1,3320 1,4850 1,1430	0,52927 0,53543 0,27386
Пролет 2-3	0,25 0,50 0,75 1,0	-0,3744 -0,4320 -0,2736	0,1728 0,2160 0,1872	-0,2016 -0,2160 -0,0864	0,08773 0,07800 -0,02927

Аналогично строим линию влияния опорного момента М₂. Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 2) для определения изгибающих моментов на опорах от действия М₂ = 1:

Учитывая, что l₄ = 0, а M₂ = 1, получим:

Решив эту систему, получим:

кН×м; кН×м.

Взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 2:

Расчеты будем вести в табличной форме (табл.16.3, где ординаты линии влияния умножены на число EJ).

Таблица 11.3

Часть балки	Сечение	Момент на опоре приложен слева	Момент на опоре приложен справа	Момент на опоре приложен и слева и справа	Ординаты линии влияния, М₂
Пролет 0-1	0,25 0,50 0,75 1,0		-0,1368 -0,2160 -0,1872	-0,1368 -0,2160 -0,1872	-0,05465 -0,08775 -0,07678
Пролет 1-2	0,25 0,50 0,75 1,0	-0,3120 -0,3600 -0,2280	1,3680 2,1600 1,8720	1,0560 1,8000 1,6440	0,27386 0,53643 0,52927
Пролет 2-3	0,25 0,50 0,75 1,0	1,1980 1,3824 0,8755	-0,4378 -0,6912 -0,5990	0,7602 0,6912 0,2765	0,26050 0,24938 0,09357

Ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении, расположенном посередине второго пролета , определяем по формуле:

где - ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении, расположенном посередине второго пролета, если этот пролет рассматривать как балку на двух шарнирных опорах; M₁ и M₂ - ординаты линий влияния опорных моментов M₁ и M₂.

По полученным данным строим линии влияния опорных изгибающих моментов M₁ и M₂, а также линию влияния изгибающего момента (см. рис.16.7).

Для дальнейших расчетов подсчитаем методом трапеций площади линий влияния М₁, М₂ и для каждого из пролетов.

Линия влияния М₁:

м²;

м².

Линия влияния М₂:

м²;

м².

Линия влияния :

м²;

м².

3. По линиям влияния, полученным в п.2, проверка ординат эпюры М, полученным в п.1

Как известно, определение усилий с помощью линий влияния производится по формулам:

- от действия сосредоточенной силы: S = P_i y_i,где y_i - ордината линии влияния усилия S, расположенная под силой P_i;

- от действия равномерно распределенной нагрузки: S = q_j w _j,где w _j - площадь участка линии влияния в пределах действия равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q_j.

Далее последовательно проверим по линиям влияния М₁, М₂ и ординаты эпюры изгибающихмоментов, построенной в п.1, в сечениях 1, 2 и .