Краткие теоретические сведения

В электрической цепи синусоидального тока с активным сопротивлением R (таблица 3.1) под действием синусоидального напряжения u = U _msin ωt возникает синусоидальный ток i = I _msin ωt, совпадающий по фазе с напряжением, так как начальные фазы напряжения U и тока I равны нулю (ψ _u = 0, ψ _i = 0). При этом угол сдвига фаз между напряжением и током φ = ψ _u – ψ _i = 0, что свидетельствует о том, что для этой цепи зависимости изменения напряжения и тока совпадают между собой на линейной диаграмме во времени.

Полное сопротивление цепи вычисляется по закону Ома

Z = = R. (3.1)

В электрической цепи синусоидального тока, содержащей катушку с индуктивностью L (таблица 3.1), под действием изменяющегося по синусоидальному закону напряжения u = U _m sin(ωt + p/2) возникает синусоидальный ток i = I _msin ωt, отстающий по фазе от напряжения на угол p/2.

При этом начальная фаза напряжения ψ _u = p/2, а начальная фаза тока ψ _i = 0. Угол сдвига фаз между напряжением и током φ = (ψ _u – ψ _i) = p/2.

В электрической цепи синусоидального тока с конденсатором, обладающим емкостью С (таблица 3.1), под действием напряжения u = U _msin(ωt – p/2) возникает синусоидальный ток i = I _msin ωt, опережающий напряжение на конденсаторе на угол p/2.

Начальный фазовый угол тока ψ _i = 0, а напряжения ψ _u = - p/2. Угол сдвига фаз между напряжением U и током I φ = (ψ _u - ψ _i) = - p/2.

В электрической цепи с последовательным соединением активного сопротивления R и катушки индуктивности L ток отстает от напряжения на угол φ › 0. При этом полное сопротивление цепи:

Z = . (3.2)

Проводимость цепи

Y = , (3.3)

где G = R/Z ² – активная проводимость цепи;

B _L = X_L/Z ² – реактивная индуктивная проводимость цепи.

Угол сдвига фаз между напряжением и током:

φ = arctg X _L/ R = arctg B _L/ G. (3.4)

Аналогично можно получить соответствующие расчетные формулы для электрических цепей синусоидального тока с различным сочетанием элементов R, L и C, которые даны в таблице 3.1.

При параллельном соединении сопротивлений параллельные ветви электрической цепи находятся под одним и тем же напряжением U = U ₁₂, поэтому для каждой из этих ветвей определение всех расчетных величин производится по формулам, справедливым для отдельных сопротивлений электрических цепей с последовательным соединением сопротивлений. Для участка цепи с параллельным соединением сопротивлений ток на разветвленном участке определяется в соответствии с первым законом Кирхгофа, записанным для узла разветвления в векторной форме

. (3.5)

Этот ток можно определить графически с помощью векторной диаграммы, как сумму составляющих векторов токов.

Токи в отдельных ветвях электрической цепи могут быть определены через проводимости (y) соответствующих ветвей

I ₁ = U ₁₂× y ₁; I ₂ = U ₁₂× y ₂; I ₃ = U ₁₂× y ₃. (3.6)

При этом ток в неразветвленной части цепи равен произведению напряжения U ₁₂ на параллельном участке цепи на сумму проводимостей параллельно включенных сопротивлений

I = U ₁₂×(y ₁ + y ₂ + y ₃). (3.7)

Сопротивления отдельных ветвей могут носить активно-реактивный характер при наличии индуктивных Х_L и емкостных Х _C сопротивлений, поэтому в общем случае сопротивления могут быть определены через активные g и реактивные b проводимости

(3.8)

При этом активные и реактивные проводимости:

(3.9)

Мощность цепи с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями (R, L и C):

S = , (3.10)

где P = I ² R – активная мощность,

Q _L = I ² X _L – индуктивная составляющая реактивной мощности,

Q _С = I ² X _С – емкостная составляющая реактивной мощности.

В неразветвленной электрической цепи синусоидального тока с индуктивностью L, емкостью C и активным сопротивлением при определенных условиях может возникнуть резонанс напряжений (особое состояние электрической цепи, при которой ее реактивное индуктивное сопротивление X_L оказывается равным реактивному емкостному X_С сопротивлению цепи). Таким образом, резонанс напряжений наступает при равенстве реактивных сопротивлений цепи, т.е. при X_L = X_С.

Сопротивление цепи при резонансе Z = R, т.е. полное сопротивление цепи при резонансе напряжений имеет минимальное значение, равное активному сопротивлению цепи.

Угол сдвига фаз между напряжением и током при резонансе напряжений:

φ = ψ_u – ψ_i = arctg = 0,

при этом ток и напряжение совпадают по фазе. Коэффициент мощности цепи имеет максимальное значение: cos φ = R/Z = 1 и ток в цепи также приобретает максимальное значение I = U/Z = U/R.

Реактивная мощность цепи при резонансе напряжений:

Q = Q _L - Q _C = I ² X _L – I ² X _С = 0.

Активная мощность цепи при резонансе приобретает наибольшее значение, равное полной мощности

Р = UI ∙cos φ = S.

При построении векторной диаграммы для электрической цепи с последовательным включением сопротивлений исходным является ток , так как в этом случае значение тока на всех участках цепи одинаково.

Ток откладывается в соответствующем масштабе (m_i = n А/см), затем относительно тока в принятом масштабе (m_u = n В/см) откладывают падения напряжения ΔU на соответствующих сопротивлениях в последовательности их расположения в цепи и напряжение (рисунок 3.1).

Рисунок 2.1 Построение векторной диаграммы

Таблица 3.1 Расчетные формулы для электрических цепей с различным сочетанием элементов R, L и C

Элементы цепи	Условное изображение на схемах	Сопротивление, Ом	Проводимость, См	Угол сдвига фаз между напряжением и током, рад	Мощность	Векторная диаграмма
Резистор R		R	G= 1/ R	j = 0	S = P = I 2 R	UR I
Катушка индуктивности L (R к = 0)		XL = w L	BL= 1/w L	j = p/2	S = QL = I 2 XL P = 0, QС = 0	UL I
Конденсатор C		XL = 1/w C	BL= w C	j = –p/2	S = QС = I 2 XС P = 0, QL = 0	I UC
Резистор и катушка индук-тивности RL		Z= Ö R 2+ XL 2	Y=R /(R2+XL 2)	j = arctg(XL / R)	S = Ö P 2+ QL 2 S = UI
Резистор и конденсатор RC		Z= Ö R 2+ XC 2	Y=R /(R2+XC 2)	j = arctg(XC / R)	S = Ö P 2+ QC 2 S = UI
Резистор, катушка индук-тивности и кон-денсатор RLC		Z= Ö R 2+(XL – XC)2	Y= R /(R2+ (XL–XC)2)	j = arctg(XL–XC)/ R	S = Ö P 2+(QL–QC)2 S = UI

При смешанном соединении сопротивлений электрическая цепь при расчете приводится к виду, показанному на рисунке 3.3. Полное сопротивление Z ₁₂ участка цепи 1-2 может быть определено через ее проводимость Z ₁₂ = 1/ y ₁₂. При этом расчет электрической цепи со смешанным соединением сопротивлений сводится к расчету простейшей электрической цепи с последовательным соединением сопротивлений.

Рисунок 3.3 Электрическая цепь после преобразования

При параллельном и смешанном соединении сопротивлений векторную диаграмму строят, начиная с вектора напряжения U ₁₂ на параллельном участке цепи.

Задание № 2

Используя данные, приведенные в таблице 3.2 для электрической цепи переменного тока (рисунок 3.4), для своего варианта определить напряжение U, действующее на зажимах цепи, показание ваттметра PW1, емкость конденсатора С₂ при резонансе токов, если на участке 1-2 электрической цепи амперметр PA1 показывает ток 6 А, а частота токи питающей сети f = 50 Гц. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для всей электрической цепи.

Дополнительное задание: Определить активное R, реактивное X и полное Z сопротивления и соответствующие проводимости g, b, y, а также коэффициенты мощности cosφ, полную S, активную Р и реактивную Q мощности ветвей и всей электрической цепи.

Таблица 3.2 Данные для выполнения контрольного задания

Рисунок 3.4 Схема электрической цепи