Широкий выбор предлагаемых алгоритмов обусловлен разнообразием задач,решаемых в настоящее время, и разнородностью требований,накладываемых на алгоритмы,которые используется в тех или иных физических приложениях.Основными параметрами,по которым можно классифицировать существующие алгоритмы,являются быстродействие(зависит от того,итерационный или прямой метод),применимость метода к работе в ближнем или дальнем поле,точность восстановления,устойчивость.Помимо этого,существенным отличием одного алгоритма от другого является приближение,в котором проводится расчет(приближение геометрической или волновой оптики).
Существующий на данный момент алгоритмы восстановления волнового фронта можно разделить на аналитические(так называемые прямые методы) и итерационные методы,каждые из которых успешно применяются в различных физических приложениях.Аналитические методы позволяют вычислить точные значения фазовой функции путем решения уравнения или систем уравнений.
Аналитические методы восстановления волнового фронта
Излучения
Широко распространенным аналитическим методом,используемым при расчете метод геометрических трансформаций [78-79]. Исходя из закона сохранения энергии,при распространении пучка от плоскости элемента до выходной плоскости определяется выходной радиус пучка:
.(1.5)
где u(r)=exp(-2(r / w 
) 
),U(r)=const = заданные во входной и выходной плоскостях профили гауссова и равномерного распределений интенсивности,r - радиус исходного пучка, 
- радиус выходного пучка. Необходимый профиль поверхности элемента вычисляется из закона преломления Снеллиуса. В случаях,когда в выходной плоскости необходимо получить коллимированный пучок с заданным распределением интенсивности,налагают требование равенства оптических путей всех лучей,прошедших систему [14,61]. Схема системы,состоящей из двух асферических поверхностей,предназначенной для формирования коллимированного пучка с равномерным распределением интенсивности представлена на рис. 1.14.
В работах [80-81] непосредственно за фазовым элементом устанавливается линза,которое связывает исходное поле 
и выходное поле F(w 
, w 
) при помощи
Двумерного преобразования Фурье:
F(w , w )= 1/(4 
) 
exp[ 
(
) - 
- n w 
)] 
.
где 
= 
, 
- нормированные на радиус исходного пучка координаты во входной плоскости, 
, 
- нормированные на радиус выходного пучка координаты в фокальной плоскости линзы, 
- безразмерный параметр,где 
- длина волны излучения, 
- фокальная длина линзы.Для вычисления профиля поверхности фазового элемента авторы использовали аналитический метод стационарной фазы [82], который позволяет находить асимптотическую аппроксимацию для интегралов вида (1.6). Провести рассмотрение метода проще для одномерного случая.Связь полей в таком случае записывается как
(1.7)
Данный метод применим при значениях 
, когда можно утверждать,что вклады в асимптотическое разложение интеграла(1.7) вносят лишь области в окрестностях определенных критических точек. Такими критическими точками являются точки,в которых производная фазы 
равняется нулю,то есть:
(1.8)
(1.9)
В таком случае асимптотическое выражение для интеграла (1.7) принимает вид:
(1.10)
При подстановке 
в (1.9) из (1.10),где вместо 
фигурирует заданное в выходной плоскости распределение интенсивности 
, получается дифференциальное уравнение вида:
(1.11)
При решении (1.11) определяется функция 
,а,следовательно,и обратная функция 
,при подстановке которой в формулу(1.8) находится требуемый профиль поверхности элемента.Следует отметить, что расчет профиля фазового элемента по методу геометрических трансформаций аналогичен расчету по методу стационарной фазы при выполнении условия . Приведенные выше методы позволяют рассчитать такие формы волновых фронтов,которые возможно воспроизвести при помощи фазовых элементов с довольно гладким профилем поверхности. Однако, данные методы существенно ограничивают круг решаемых задач из-за требований,предьявляемых к исходному и формируемому излучениям,которые должны обладать либо осевой симметрией,либо возможностью разделения переменных [83].
В статьях Майкла Тига(Michael Teague) [84] и Алана Гринааса(Alan Greenaway)[85-86] предлагается метод,основанный из аналитическом решении уравнения переноса интенсивности.Он обеспечивает быстрое,точное и устойчивое к погрешностям восстановления волнового фронта.Рассмотрим более подробно данный метод.
Представим комплексную амплитуду поля в виде:
, (1.12)
Где 
- комплексная амплитуда волны, 
фаза и интенсивности волны
Соответственно. Будем считать, что световая волна,распространяясь вдоль направления z,удовлетворяет параболическому уравнению:
(1.13)
Где 
- волновой вектор.После определенных математических выкладок получается двумерное уравнение Пуассона(при условии,что во входной плоскости распределение интенсивности постоянно: 
(1.14)
которое связывает изменение интенсивности вдоль направления распространения волны с кривизной волнового фронта.Решение данного уравнение представляется в виде функции Грина 
для 
(1.15)
(P – граница области в которой решается уравнение Пуассона, 
- единичный вектор,нормальный P)/
Искомое распределение фазы можно представить в виде:
,где 
(1.16)
Таким образом,измерив распределения интенсивностей в двух плоскостях,перпендикулярных направлению распространения волны,и отстоящих друг от друга на расстояние 
, можно вычислить производную:
(1.17)
и,подобрав функцию Грина,отвечающую граничным условиям,можно вычислить распределенные фазы в плоскости 
.
3) модуль полученного поля заменяется на корень из интенсивности 
, заданной в выходной плоскости оптической системы;
,
4) осуществляется обратное преобразование Фурье от полученной функции и вычисляется поле во входной плоскости: 
,
5) следующее приближение фазы 
полагается равным полученному фазовому приближению 
. После этого цикл повторяется,начиная с шага 1).
Алгоритм Гершберга-Сакетона фактически заключается в последовательном переходе от поля к его пространственному спектру и обратно с заменой модулей соответствующих значений на известные,измеренные в эксперименте.Данный алгоритм может использоваться для задачи воспроизведения фазы по одному распределению интенсивности.В этом случае на первом этапе следует выбрать исходное приближение для действительной амплитуды 
,а на последнем – в качестве нового приближения следует взять саму функцию 
, полученную на 
-ой, последней итерации.Обобщением алгоритма Гернберга-Сакстона является метод минимизации ошибки.Данный метод предпологает улучшение точности восстановления волнового фронта с увеличением номера итерации.Схема данного алгоритма практически аналогична схеме алгоритма Гершберга-Сакстона,за исключением последнего шага в задаче восстановления фазы по одному распределению интенсивности,на котором вводится следующее условие выбора нового приближения комплексной амплитуды:
(1.18)
Где 
-это множество точек,в которых 
становится отрицательным либо выходит за диаметр предполагаемого обьекта.
Решение проблемы медленной сходимости алгоритмов предположено к,так называемом “Ввод-Вывод” алгоритме [INPUT-OUTPUT-IO][91-94],который отличается от предыдущих методов по условиям,задаваемым в выходной плоскости,остальные три шага остаются прежними(рис.1.15).Три первых шага обьединены в нелинейную систему,имеющую в качестве начальных данных и в качестве конечных 
.Характеристика этой системы такова,что любой сигнал с “выхода” системы имеет Фурье образ,равный 
Таким образом,в точках,где сигнал с выхода системы удовлетворяет заданным условиям,следует оставлять значения поля 
подающегося на вход.В точках,где условия не выполняются,требуется изменить “входное” поле.То есть четвертый шаг итерационной схемы принимает вид:
Где -это множество точек,в которых 
отрицательна,а 
-константа пропорциональности между изменением сигнала на “выходе” системы при малом изменении сигнала на “входе”.
Подобные условия значительно повышают скорость сходимости алгоритма [94].
Алгоритмы поиска локального экстремума [66,95] предназначены для нахождения точки на множестве допустимых решений,в котором целевая функция 
,где 
-вектор управляемых координат,принимает максимальное или минимальное значение.Существует несколько модификаций алгоритма локального поиска.Вот некоторые из них: