Популяции организмов по-разному реагируют на такие изменения условий окружающей среды, как увеличение или уменьшение количества пищи, питательных веществ почвы, температура и влажность окружающей среды (воздуха), увеличение или уменьшение территории обитания. Изменения в размерах, структуре или распределении популяций в соответствии с изменением условий окружающей среды называются динамикой популяций.
Одним из условий устойчивого существования популяции является превышение числа рожденных за единицу времени организмов К над числом умерших организмов D. Если учитывать только данные факторы, то зависимость численности популяции х от времени t описывается следующим уравнением:
, (1)
которое имеет решение:
, (2)
где 
– начальная численность популяции при t = 0.
Из решения видно, что при положительных значениях (К-D) численность популяции со временем будет неограниченно возрастать. В действительности такого не происходит, следовательно, формула (1) описывает динамику численности популяции с недостаточной точностью.
Для построения более точной математической модели динамики численности популяции необходимо учесть следующие экологические факторы:
1. Факторы, влияющие на рождаемость.
а) соотношение выжившего потомства к числу родителей в конце периода размножения. Например, калифорнийские кондоры откладывают только одно яйцо, что делает их более уязвимыми к вымиранию по сравнению с такими видами, как утки, высиживающие от 8 до 15 яиц;
б) периодичность и продолжительность полного цикла размножения. Например, слон может рожать 1 детеныша в 2,5 года, а мышь луговая полевка – около десятка детенышей раз в 20-30 дней;
в) плотность популяции. Когда число особей популяции на единицу площади падает ниже определенного уровня, рождаемость снижается из-за трудностей, возникающих при поиске партнера. Аналогичная картина возникает, если плотность популяции становится слишком высокой, рождаемость также падает из-за трудностей в обеспечении пищей. Таким образом, плотность популяции поддерживается на одном и том же уровне.
2. Факторы, влияющие на смертность.
а) возрастная структура популяции. При построении математической модели необходимо разделять число особей, доживших до репродуктивного возраста, и число особей, погибших ранее;
б) межвидовая конкуренция из-за пищи или других ресурсов;
в) внутривидовая конкуренция в случае скудных ресурсов;
г) поедание особей хищниками, паразитами;
д) гибель от болезней;
е) смертность из-за ухудшения среды обитания вследствие природных катаклизмов и человеческой деятельности.
С учетом изложенных факторов для составления математической модели динамики численности популяции имеем:
характерную для данного вида зависимость рождаемости от плотности популяции К(х/N);
максимально возможную для данных пищевых и территориальных ресурсов численность популяции N(t), которая зависит от изменяющихся во времени состояния среды обитания и численности конкурентов y(t) данной популяции на место в ее экологической нише;
время достижения особью репродуктивного возраста t;
зависимость смертности от изменяющихся во времени состояния среды обитания, численности конкурентов по экологической нише y(t), численности хищников z(t), внутривидовой конкуренции за скудные ресурсы: 
.
Вводя данные зависимости в (1) и, переходя от дискретного процесса динамики численности к непрерывному, получим:
(3)
Использование выражения (3) для анализа динамики численности популяции достаточно сложно и требует наличия большого количества экспериментального материала, позволяющего корректно построить данную математическую модель. Поэтому в данной работе при построении модели динамики численности популяции из перечисленных факторов учтем только снижение рождаемости K 1 при росте плотности популяции (К = К 1(N – x)), т.е. примем условия окружающей среды неизменными, смертность D независимой от плотности популяции, отсутствие межвидовой конкуренции и хищников. В этом случае динамика численности популяции будет описываться следующим дифференциальным уравнением первого порядка:
. (4)
Данное уравнение решается непосредственным интегрированием и имеет общее решение вида:
,
где постоянная интегрирования С зависит от начальной численности популяции .
.
Окончательное решение уравнения (4) записывается в виде:
, (5)
называется логистической кривой и имеет график, представленный на рисунке 1.
Рис. 1. Логистические кривые при различных значениях
рождаемости (К2 > К1).
Введенные при получении логистической кривой ограничения наиболее типичны для экологической системы, содержащей одну популяцию самоопыляющихся растений при полном отсутствии животных. Проанализируем графики рис.1 применительно к популяции растений.
Очевидно, что рост их численности ограничивается площадью пригодных для их обитания земель. Эти площади могут снижаться при засеве растениями-конкурентами других видов. При отсутствии конкурентов величина (N-D/К 1) характеризует количество площадей с условиями окружающей среды, пригодными для существования особей рассматриваемой популяции.
Цель задания: Исследование динамики численности популяций растений. Построение логистической кривой зависимости численности популяций от времени. Определение величин х0, N-D/К 1, К 1 для популяции из графиков.