Определенный интеграл
Задача о площади криволинейной трапеции
Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD (рис. 2). Найдем площадь этой трапеции. Разделим основание АВ данной фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, соответствующие точкам деления. Тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок (см. рис. 2). Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем, крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.
Обозначим точки деления:
. (13)
Основание -го прямоугольника , очевидно, равно разности , которая обозначена через . Высота, следовательно, равна , поэтому площадь -го прямоугольника равна .
Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади криволинейной трапеции: .
Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех стремится к нулю. Точное значение площади получится как предел
(14)
в предположении, что все одновременно стремятся к нулю. Для предельного значения суммы (14) введено обозначение - в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей изменению от до .
Понятие определенного интеграла
Пусть определена на отрезке . Разделим отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .
Определение 2.1. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида (рис. 3):
(15)
Определение 2.2. Определенным интегралом от функции на отрезке (в пределах от до ) называется предел интегральной суммы (15) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
. (16)
Если для функции , заданной на отрезке , предел (16) существует и не зависит как от способа разбиения отрезка на элементарные, так и выбора точек , то говорят, что функция интегрируема на отрезке .
Теорема 2.1. (о существовании определенного интеграла)
Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на отрезке .
Отметим, что в отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл для фиксированных значений и - число.
Определенный интеграл как функция верхнего предела
Если функция интегрируема в промежутке , то она интегрируема и в промежутке , где - любое значение из отрезка . Рассмотрим функцию
(17)
Эта функция обладает следующими свойствами:
1) если функция непрерывна на , то будет непрерывной на том же промежутке;
2) если функция непрерывна на , то в любой точке функция имеет производную, равную : .
Таким образом, функция , определенная равенством (17), является одной из первообразных функции на .
2.4. Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница
Пусть функция непрерывна на , а - одна из непрерывных на отрезке , первообразных для , т.е. , тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:
. (18)
Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл по данной формуле, необходимо:
1) проверить, что функция непрерывна на отрезке ;
2) найти первообразную подынтегральной функции , проверить ее на непрерывность на отрезке ;
3) воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
Пример 2.1.
. Подынтегральная функция и первообразная непрерывны на промежутке интегрирования, поэтому формулой Ньютона-Лейбница пользоваться можно: .
Пример 2.2.
. Подынтегральная функция и первообразная непрерывны на промежутке интегрирования, поэтому .
Пример 2.3.
. Здесь подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Поэтому формулой Ньютона-Лейбница в данном примере воспользоваться нельзя, однако выражения такого типа имеют определенный смысл, который рассмотрим в дальнейшем (см. п. 2.8.2., пример 1).