Определенный интеграл как функция верхнего предела




Определенный интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции

 

Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD (рис. 2). Найдем площадь этой трапеции. Разделим основание АВ данной фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, соответствующие точкам деления. Тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок (см. рис. 2). Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем, крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.

Обозначим точки деления:

. (13)

Основание -го прямоугольника , очевидно, равно разности , которая обозначена через . Высота, следовательно, равна , поэтому площадь -го прямоугольника равна .

Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади криволинейной трапеции: .

Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех стремится к нулю. Точное значение площади получится как предел

(14)

в предположении, что все одновременно стремятся к нулю. Для предельного значения суммы (14) введено обозначение - в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей изменению от до .

 

Понятие определенного интеграла

 

Пусть определена на отрезке . Разделим отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .

Определение 2.1. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида (рис. 3):

(15)

Определение 2.2. Определенным интегралом от функции на отрезке (в пределах от до ) называется предел интегральной суммы (15) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

. (16)

Если для функции , заданной на отрезке , предел (16) существует и не зависит как от способа разбиения отрезка на элементарные, так и выбора точек , то говорят, что функция интегрируема на отрезке .

Теорема 2.1. (о существовании определенного интеграла)

Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на отрезке .

Отметим, что в отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл для фиксированных значений и - число.

 

Определенный интеграл как функция верхнего предела

 

Если функция интегрируема в промежутке , то она интегрируема и в промежутке , где - любое значение из отрезка . Рассмотрим функцию

(17)

Эта функция обладает следующими свойствами:

1) если функция непрерывна на , то будет непрерывной на том же промежутке;

2) если функция непрерывна на , то в любой точке функция имеет производную, равную : .

Таким образом, функция , определенная равенством (17), является одной из первообразных функции на .

 

2.4. Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница

 

Пусть функция непрерывна на , а - одна из непрерывных на отрезке , первообразных для , т.е. , тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:

. (18)

Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл по данной формуле, необходимо:

1) проверить, что функция непрерывна на отрезке ;

2) найти первообразную подынтегральной функции , проверить ее на непрерывность на отрезке ;

3) воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 2.1.

. Подынтегральная функция и первообразная непрерывны на промежутке интегрирования, поэтому формулой Ньютона-Лейбница пользоваться можно: .

 

Пример 2.2.

. Подынтегральная функция и первообразная непрерывны на промежутке интегрирования, поэтому .

Пример 2.3.

. Здесь подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Поэтому формулой Ньютона-Лейбница в данном примере воспользоваться нельзя, однако выражения такого типа имеют определенный смысл, который рассмотрим в дальнейшем (см. п. 2.8.2., пример 1).



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-04 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: