Дом Учителя Уральского федерального округа
X Международная Олимпиада по основам наук
Третий этап. «Высшая лига»
Научный руководитель проекта по предмету: Мельников Юрий Борисович, доцент,
кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой Прикладной математики
Уральского государственного экономического университета, г. Екатеринбург.
Автор заданий: Унегова Татьяна Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Уральского государственного педагогического университета, г. Екатеринбург.
Рецензент: Трубаева Наталия Валерьевна, учитель математики высшей квалификационной категории, МОУ лицей №88, г. Екатеринбург.
Математика 11 класс
Проводится в честь Эндрю Уайлса
Время выполнения работы 1 час 30 минут
__________ _______ _________ ___________ ________ __________ ______________
Фамилия Имя Отчество Нас. Пункт Область ОУ № Код участника
Таблица ответов
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | ||||||||||||||||||
| Задание | 15.1 | |||||||||||||||||
| Задание | 15.2 | |||||||||||||||||
| Задание | 15.3 | |||||||||||||||||
| Задание | 15.4 | |||||||||||||||||
| Задание | 16.1 | |||||||||||||||||
| Задание | 16.2 | |||||||||||||||||
| Задание | 16.3 | |||||||||||||||||
| Задание | 16.4 |
Инструкция по выполнению работы
Часть 1 состоит из 5 заданий (1-5), оцениваемых в 3 балла.
Часть 2 состоит из 5 заданий (6-10), оцениваемых в 5 баллов.
Часть 3 состоит из 5 наиболее сложных заданий (11-15), оцениваемых в 8 баллов.
Часть 4 состоит из 1 составного задания (16) открытого типа, оцениваемого в 20 баллов. В составном задании 4 подзадания, оцениваемых в 5 баллов.
Баллы, полученные вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. Внимательно прочитайте каждое задание и проанализируйте все варианты предложенных ответов.
Постарайтесь выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. К пропущенному заданию вы сможете вернуться после выполнения всей работы, если останется время.
Ответы занесите в специальную таблицу ответов.
Первая часть. Задания, оцениваемые в 3 балла.
В заданиях 1-5 выберите три правильных ответа из шести предложенных и укажите их номера в таблице ответов.
1. Выберите выражения, значения которых иррациональны:
1) 
| 4) 
|
2) 
| 5) 
|
3) 
| 6) 
|
2. Определите, какие из неравенств справедливы при всех положительных числах a и b:
1) 
| 3) 
| 5) 
|
2) 
| 4) 
| 6) 
|
| 3. Дан куб, на трех гранях которого написаны буквы А, Г, Р. Какие из разверток могут быть развертками такого куба? | 
|
4. Выберите те уравнения, которые имеют корни на отрезке [1; 2]:
1) 
| 3) 
| 5) 
|
2) 
| 4) 
| 6) 
|
5. Выберите все неверные высказывания о многогранниках:
1) Существует треугольная пирамида, в которую нельзя вписать сферу
2) Около любой прямой треугольной призмы можно описать сферу
3) В любую треугольную призму можно вписать сферу
4) Сечение куба плоскостью не может быть пятиугольником
5) В сечении любого тетраэдра плоскостью может получиться параллелограмм
6) Существует четырехугольная пирамида, две противоположные боковые грани которой перпендикулярны основанию
Вторая часть. Задания, оцениваемые в 5 баллов.
В заданиях 6-8 установите соответствие между содержанием первого и второго столбцов. Впишите в таблицу ответы так, чтобы буква из второго столбца соответствовала номеру первого столбца (например, 1А2B3C4D5E).
6. Найдите площади выделенных штриховкой фигур и установите соответствие между номером фигуры и буквой, под которой указана площадь этой фигуры. Некоторые буквы из второго столбца могут не использоваться.
| A) 
| |
B) 
| ||
C) 
| ||
D) 
| ||
E) 
| ||
F) 
| ||
| 7. Функция y = f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при ‒3 ≤ x ≤ 1. Установите соответствие между содержанием первого и второго столбцов. Некоторые буквы из второго столбца могут не использоваться. | 
| |
| 1) Значение функции f (2014) равно… | A) ‒1 | |
2) Значение выражения  равно…
| B) 0 | |
| 3) Наибольшее значение функции на отрезке [0; 4] равно… | C) 1 | |
| 4) Число корней уравнения f(x) = f(‒6) на отрезке [‒4; 6] равно… | D) 2 | |
| 5) Число корней уравнения f(x) = ‒x + 5 равно… | E) 3 | |
| F) 4 | ||
| G) 5 | ||
| H) 6 | ||
| I) Бесконечно много | ||
8. В семье пятеро детей. Аня старше всех, Борис младше всех, Витя родился между Гошей и Дашей, а Даша и Аня почти ровесницы. Определите возраст xi каждого ребенка, решив систему и установив соответствие с помощью таблицы:
|
|
В заданиях 9-10 установите правильную последовательность.
9. На доске написано пять целых чисел. Сложив их попарно, получили следующие десять чисел:
0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15
Какие пять чисел написаны на доске? Выпишите их в таблицу ответов в порядке возрастания, через запятую (каждый символ, включая запятые, пишите в отдельной клетке).
10. В классе 25 учащихся. Из них 8 занимаются в секции велосипедистов, 13 – в секции плавания, 17 – в лыжной секции. Ни один из учеников не занимается в трех секциях сразу. Все спортсмены учатся только на 4 и 5, а шесть учащихся имеют по математике одни тройки.
Ответьте на вопросы:
1) Сколько велосипедистов занимаются в секции плавания?
2) Сколько пловцов посещают лыжную секцию?
3) Сколько лыжников занимаются еще и велоспортом?
4) Сколько всего спортсменов в классе?
5) Сколько учеников имеют двойки по математике?
Полученные числа запишите в таблицу ответов в порядке следования вопросов, через запятую.