Лекция 11. Теплообмен на плоской пластине
Уравнения Прандтля
Рассмотрим процесс конвективного теплообмена при обтекании плоской пластины. Гидродинамика потока при этом виде течения может быть описана в терминах теории пограничного слоя. Определив продольную скорость движения жидкости 
и ее профиль в направлении оси y, нормальной плоскости пластины в виде 
, введем толщину пограничного слоя 
.
Отбрасывая в уравнениях Hавье-Стокса члены порядка 
, где l - длина пластины, получим систему уравнений Прандтля:
; (11.1)
, (11.2)
с граничными условиями
при y = 0;
при 
, (11.3)
где - нормальная составляющая скорости;
- скорость вдали от пластины;
x - продольная координата пластины;
r - плотность жидкости;
- коэффициент кинематической вязкости жидкости;
p - давление;
t - текущее время.
Оценки режима движения будем осуществлять с помощью числа Рейнольдса 
, где 
- скорость внешнего потенциального потока; 
- расстояние от переднего края пластины до точки перехода к турбулентному режиму движения.
Интегрирование уравнения Прандтля по y в пределах от 0 до 
для стационарного потока 
дает
. (11.4)
Интегральное уравнение пограничного слоя
Использование граничных условий позволяет записать интегральное уравнение пограничного слоя
, (11.5)
где 
- напряжение трения на стенке.
Введем два линейных параметра: толщину вытеснения скорости 
и толщину вытеснения (потери) импульса 
по соотношениям
; (11.6)
. (11.7)
Уравнение Бернулли позволяет записать
, (11.8)
тогда интегральное уравнение пограничного слоя будет иметь вид:
, (11.9)
где p - давление;
- напряжение трения на стенке.
Введя безразмерную толщину вытеснения энергии 
и безразмерную функцию диссипации энергии 
по соотношениям
; (11.10)
, (11.11)
получим интегральное уравнение энергии для пограничного слоя в виде
. (11.12)
Представим профиль скорости 
в виде многочлена
, (11.13)
где А, В, C, D - постоянные, определяемые из граничных условий
; 
при y = 0; (11.14)
; 
при 
. (11.15)
Удовлетворяя этим условиям, получаем значения постоянных:
. (11.16)
Тогда кривая распределения скорости будет иметь вид:
. (11.17)
Толщина вытеснения импульса составит
. (11.18)
Напряжение трения на стенке равно:
. (11.19)
где 
- коэффициент объемной вязкости.
Положив 
, получим:
. (11.20)
Интегрирование дает 
, так как при x=0 будет 
.
Перепишем это выражение в виде 
.
Напряжение трения на стенке теперь принимает вид
. (11.21)
Теплообмен при обтекании плоской пластины
Теплообмен при обтекании плоской пластины определяется изменением температуры жидкости от температуры на поверхности пластины 
до температуры жидкости вдали от поверхности 
. Это изменение 
происходит в слое толщиной 
, характеризующем толщину теплового пограничного слоя. Связь между толщинами и дается в зависимости от числа Прандтля 
. (11.22)
Оценка членов, входящих в уравнение Фуpье-Киpхгофа для пограничного слоя, в стационарном режиме 
позволяет записать
, (11.23)
где 
- изобарная теплоемкость среды;
Т- температура;
- коэффициент теплопроводности.
Отношение 
дает коэффициент температуропроводности. Диссипативный член уравнения
(11.24)
при разности температур для воздуха 
при 
м/сек пренебрежимо мал.
Интегрирование в пределах от 0 до 
по направлению y при граничных условиях 
при y=0; 
при 
при 
приводит к интегральному уравнению теплового пограничного слоя:
. (11.25)
В этом случае локальный коэффициент теплообмена определяется по соотношению
, (11.27)
где 
- плотность теплового потока.