Вероятность случайного события

Практическое занятие 10.02 2017

Оценки случайных величин параметров в технологических процессах

Рассмотрим простейшие методы оценки случайных величин. Исходные данные - результаты наблюдений за технологическими процессами, изделиями или отчетные данные, которые выявили индивидуальные реализации случайных величин (например, наработки на отказ станка или инструмента, фактический расход материалов и т.п.).

1. Случайные величины (от 1 до п) располагают в порядке возрастания или убывания их абсолютных значений (вариационный ряд случайных величин, табл. 1):

х_{1 =} х_min; х₂ ; х₂; х₄;…; х_i; … х_n-1; х_n = х_max

F (failure) - отказ, авария, повреждение, вероятность этих событий;

R (reliability) - безотказность, надежность, прочность, вероятность этих событий;

Р (probability) - вероятность.

При вероятностных оценках рекомендуется размах случайной величины от х_min до х_max разбить на несколько (как правило, не менее 5-7 и не более 9-11) равных по длине ∆х интервалов (табл. 2). Далее следует произвести группировку, т.е. определить число случайных величин, попавших в первый (п₁), второй (п ₂) и остальные интервалы n_j. Это число называется частотой отказов в данном интервале.Разделив каждую частоту на общее число случайных величин (п₁ +п₂ +... + п_п = п = 100), определяют частость (ω _i = п_п /п ).

Таблица 2 - Пример вероятностной оценки случайных величин

Частость является эмпирической (опытной) оценкой вероятности Р, т.е. при увеличении числа наблюдений частость приближается к вероятности:

ω_i → p_i. Полученные при группировке случайной величины результаты сводятся в таблицу (табл. 2), данные которой имеют не только теоретическое, но и практическое значение. Например, по результатам наблюдений можно предположить, что у аналогичного инструмента в тех же условиях функционирования и в интервале наработ­ки 6 - 8 мин может отказать около 6% инструмента, т.е. (ω₁ = p₁ = 0,06), в интервале 8 -10 мин - 12% (ω₂ = p₂ = 0,12), в интервале 10 -12 мин - 19% (ω₃ = p₃ = 0,19) и т.д.

Следовательно, имея систематизированные данные по отказам инструмениа, можно прогнозировать и планировать число воздействий (программу работ), потреб­ности в рабочей силе, площадях, материалах и т.п).

Вероятность случайного события

В общем виде это отношение числа слу­чаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу случаев.

Вероятность отказа рассматривается не вообще, а за определенную нара­ботку X

В примере (табл. 2) при наработке X = 10 мин имеем

Р(х) = Р{ x_i <10 } = (п₁ + п₂ ) / п = (6 + 12)/100 = 0,18

R(x)=P{ x_i >X } = (п-т(х)) / п

где п - т(х) - число изделий, не отказавших за наработку X.

В примере для наработки X = 10 тыс. км имеем

R(x) = Р{ x_i >10 } = (100 – 18) / 100 = 0,82.

Вероятность отказа может быть получена также последовательным суммиро­ванием интервальных вероятностей за наработку X, т.е.

F(x) = p₁+p₂ +... + p_j,

где j - номер интервала, соответствующий наработке X.

5. Следующей характеристикой случайной величины является плотность
вероятности (диф. Ф-ия) (например, вероятности отказа) f(x) - функция, характеризующая вероятность отказа за малую единицу времени при работе узла, агрегата, детали без замены. Если вероятность отказа за наработку F(x) = m(x)/n, то, дифферен­цируя ее при п = const, получим плотность вероятности отказа

f(x)= (1 / n )·( dm/dx )

где dm/dx — элементарная «скорость», с которой в любой момент времени проис­ходит приращение числа отказов при работе детали или агрегата без замены.

Так как f(x) = F'(x), то

F(x)=]f(x)dx.

Поэтому F(x) называют интегральной функцией распределения, а f(x ) - диф­ференциальной функцией распределения.

Так как

f(x)dx = 1, a R(x) = 1 - F(x), то R(x) = f(x)dx.

При выполнении контрольного задания дифференцирование F(x) можно заменить делением приращения ∆ F(x) на шаг интервала ∆х, т.е.

∆ f(x) = ∆ F(x) / ∆х