Модифицированный метод Эйлера

Оглавление

 

Введение

1 Обзор методов решения в Excel

1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

1.2 Задача Коши

1.3 Метод Эйлера

1.4 Модифицированный метод Эйлера

1.5 Практическая часть

2 Практическая часть

2.1 Численные методы решения нелинейных уравнений

2.2 Численные методы решения систем нелинейных уравнений

2.3 Аппроксимация

2.4 Численные методы решения определенного интеграла.

Заключение

Список литературы

 

Введение.

 

Уравнение называется обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области и, во всяком случае, зависит от . Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеет вид

Решением этого уравнения на интервале I=[a,b] называется функция u(x).

Решить дифференциальное уравнение у^/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что у_i=F(x_i)(i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x) (3) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решений многих задач естествознания в качестве математической модели. Например задачи электродинамики системы взаимодействующих тел (в модели материальных точек), задачи химической кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частных производных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – это, как правило, краевые задачи (задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин, определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически симметричных полях и многое другое)

Обзор методов решения в Excel

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

 

Идея Рунге-Кута состоит в том, чтобы использовать метод неопределённых коэффициентов. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения уравнения первого порядка y' = F(x,y) (1) является метод четвертого порядка, в котором вычисления производятся по формуле:

 

yk+1 = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4)/6, (2)

где

k₁ = Fk h = F(xk, yk)h

k₂ = F(xk +h/2, yk +k₁ /2)h

k₃ = F(xk +h/2, yk +k₂ /2)h

k₄ = F(xk +h, yk +k₃)h,

k = 0,..., n-1

h = (xf -x₀)/n (3)

 

Задача Коши

 

Рассмотрим задачу Коши для уравнений первого порядка на отрезке [a,b]:

 

, (4)

 

Разобьём промежуток [a,b] на N частей . Обозначим, где u(x) –точное решение задачи Коши, и через значения приближенного решения в точках . Существует 2 типа численных схем:

1. явные: ) (5)

2. неявные: (6)

 

Здесь F некоторая функция, связывающая приближения. В явных схемах приближенное значение в точке определяется через некоторое число k уже определённых приближенных значений. В неявных схемах определяется не рекурентным способом, как в явных схемах, а для его определения возникает уравнение, поскольку равенство (6) представляет из себя именно уравнение на . Явные схемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее

 

Метод Эйлера

 

Решить дифференциальное уравнение у^/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что

 

у_i=F(x_i)(i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀. (7)

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (7) с начальным условием

x=x₀, y(x₀)=y₀ (8)

 

Требуется найти решение уравнения (7) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)»y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…); каждое звено М_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (7), которая проходит через точку М_i. Если правая часть уравнения (7) в некотором прямоугольнике R{|x-x₀|£a, |y-y₀|£b}удовлетворяет условиям:

 

|f(x, y₁)- f(x, y₂)| £ N|y₁-y₂| (N=const), (9)

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

 

то имеет место следующая оценка погрешности:

 

|y(x_n)-y_n| £ hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], (10)

 

где у(х_n)-значение точного решения уравнения (7) при х=х_n, а у_n- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n^* оценивается формулой

 

|y_n-y(x_n)|»|y_n^*-y_n|. (11)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

 

Модифицированный метод Эйлера

 

Рассмотрим дифференциальное уравнение (7) y^/=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

 

Рисунок 1 Метод Эйлера в графическом виде

 

Получаем точку М_к(х_к,у_к). Через М_к проводим касательную:

 

у=у_к=f(x_k,y_k)(x-x_k)

 

Делим отрезок (х_к,х_к1) пополам

x_Nk^/=x_k+h/2=x_k+1/2 (12)

y_Nk^/=y_k+f(x_k,y_k)h/2=y_k+y_k+1/2

 

Получаем точку N_k^/. В этой точке строим следующую касательную:

 

y(x_k+1/2)=f(x_k+1/2, y_k+1/2)=α_k (13)

 

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1. Получаем точку М_к^/. В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к^/. Тогда:

 

у_к+1=у_к+α_кh

x_k+1=x_k+h

α_k=f(x_k+h/2, y_k+f(x_k,Y_k)h/2) (14)

y_k=y_k-1+f(x_k-1,y_k-1)h (14)

 

(14)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции у_к+1/2 в точках х_к+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y^/_k+1/2=f(x_k+1/2, y_k+1/2) и определяют у_к+1.

Для оценки погрешности в точке х_к проводят вычисления у_к с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

 

| у_к^*-у(х_к)|=1/3(y_k^*-y_k), (15)

 

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y^//=f(y^/,y,x) c начальными условиями y^/(x₀)=y^/₀, y(x₀)=y₀, выполняется замена

y^/=z (16)

z^/=f(x,y,z)

 

Тем самым преобразуются начальные условия

 

y(x₀)=y₀, z(x₀)=z₀, z₀=y^/₀

Практическая часть.