ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

Работа содержит четыре задания из различных разделов дисциплины.

Задание 1. Найти оценку погрешности результата равноточных некоррелированных многократных измерений

Задание 2. Оценить интервал, в котором находится основная погрешность средства измерений с заданной вероятностью (суммирование составляющих погрешности)

Задание 3. Оценка погрешности результата косвенных измерений

Задание 4. Построение алгоритма обработки многократных измерений физической величины и оценка качества алгоритма.

По мере целесообразности результаты расчетов должны сопровождаться соответствующими графическими иллюстрациями.

 

1.3. Указания по оформлению работы.

 

Пояснительная записка работы оформляется в соответствии с требованиями СТП МГУПИ.

Текст должен быть расположен на одной стороне листа бумаги формата А4.

Цифровой материал (исходные и итоговые данные расчетов) представляется в виде таблиц.

Первой страницей пояснительной записки (без указания номера) является титульный лист, форма которого приведена в приложении.

Пояснительная записка должна иметь четкую структуру, определяющую последовательность расчетов, содержание и расположение материалов работы. Рекомендуемые структура, рубрикация и объем разделов пояснительной записки приведены в приложении 2.

 

Определение характеристик погрешностей результатов измерений.

 

Структурная схема процесса формирования погрешности измерения представлены на рисунке 1.

 

Средство измерения

 

Рисунок1- Структурная схема процесса формирования погрешности

 

На рис. использованы следующие обозначения:

- измеряемая физическая величина,

- математической ожидание помехи,

- центрированная случайная помеха,

- результат измерения,

- погрешность результата измерения,

 

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

При наблюдении реализуется некоторое возможное значение физической величины. Все множество возможных значений измеряемой величины, которые она может принимать в эксперименте, называется генеральной совокупностью.
Генеральная совокупность несет полную информацию об измеряемой величине и позволяет найти истинное значение х₀ физической величины. На практике ограничиваются конечным числом наблюдений (от единиц до нескольких сотен). Полученный при этом ряд значений физической величины: х₁, х₂,...., х_N называют выборкой из генеральной совокупности или просто выборкой. Число N результатов наблюдений в выборке называют объемом выборки.
Ввиду ограниченного числа наблюдений в выборке по ней нельзя найти ни истинное значение измеряемой величины, ни погрешность измерения, и задача сводится к нахождению по выборке наилучших выборочных оценок (наилучших приближенных значений) истинного значения и погрешности измерения. Сравнивая значения, полученные в конкретной выборке, легко заметить некоторое рассеяние.
Будем рассматривать измерения прямые многократные и однократные, а также косвенные.

ПРИМЕР. Задача – измерение ускорения свободного падения g путем измерения продолжительности свободного падения тела с высоты h. Без учета сопротивления воздуха
Измерения высоты производится линейкой с ценой деления с=1 см, а время измеряется секундомером с погрешностью 0,01 секунды.
Прямыми измерениями получена серия данных, приведенных в таблице 1.

Таблица 1 Результаты экспериментальных значений

h, м	0,70	0,70	0,70	0,70	0,70
t, c	0,34	0,36	0,40	0,38	0,37

Видно, что появление того или иного значения – случайное явление в некотором диапазоне значений, группирующихся около среднеарифметического значения выборки, в нашем случае
Известны различные математические законы распределения случайных величин. Наиболее широко распространены нормальный (гауссов) закон и закон равномерного распределения. Ограничимся лишь кратким рассмотрением нормального закона. В соответствии с теорией, при нормальном законе распределения средних значений выборки (и абсолютных погрешностей измерения) сама величина среднеарифметического значения ,при N® ¥

где х₀ – истинное значение величины, а N – число произведенных измерений. Из-за ограниченного числа измерений рассчитанная величина отличается от х₀ в принципе тем больше, чем меньшее число измерений произведено.
Корректное представление результата измерений требует указания границ интервала, в которых, скорее всего, будут лежать результаты измерений другого исследователя, если он будет измерять эту же величину этим же методом. Принято вычислять границы доверительного интервала хD с указанием вероятности Р попадания в него результата измерения.
Результат записывают обычно в виде х₀= с вероятностью Р.
Доля случайной погрешности в результатах измерений определяется с помощью выражения

где t_p,N – коэффициенты распределения Стьюдента, определяемые из таблицы для числа опытов N при заданной вероятности р. Часто выбирают «стандартную» вероятность 0,7 и тогда ее не указывают. В студенческой практике широко применяется вероятность 0,95.
- среднее квадратичное отклонение среднего , вычисляемое по формуле

,

D x _i – абсолютная погрешность i-ого измерения.

Величину называют среднеквадратичным отклонением результата наблюдений от среднего значения, она близка по смыслу к математическому понятию дисперсия s² распределения и может применяться для приближенного выявления промахов.
А именно: если разность для некоторого i-того измерения, то этот результат следует признать промахом.

Долю систематической погрешности определяют из соотношения

Окончательно границы доверительного интервала серии прямых измерений определяют из соотношения

Задание 1. Найти оценку погрешности результата равноточных некоррелированных многократных измерений

Варианты 1 – 10.

При многократном измерении тока получены значения в мА: 98, 100, 97, 101, 99, 102, 103. Определить доверительные границы для истинного значения измеряемой величины с вероятностью Р.

Вариант
Р	0,9	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99

Варианты 11 - 20

При многократном измерении получены отклонения от настроенного размера ΔD в мкм: 0, +1, +2, +3, +1, -1. Определить доверительные границы для истинного значения измеряемой величины с вероятностью Р.

Вариант
Р	0,9	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99

Варианты 21 - 30

При многократном измерении влажности воздуха получены значения 65, 64, 66, 65, 63, 64, 66, 67%. Определить доверительные границы для истинного значения измеряемой величины с вероятностью Р.

Вариант
Р	0,9	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99

 

Примечания. 1. Результат многократных измерений представить в виде

Х - t_pnσ(Х) ≤ Х ≤ Х+ t_pnσ(Х), Р=0,хх.

2. Значения распределения Стьюдента выберите из таблицы

Доверительная вероятность Р	Число измерений n
0,9	2,02	1,94	1,90
0,91	2,10	2,02	1,98
0,92	2,20	2,11	2,07
0,93	2,31	2,21	2,16
0,94	2,43	2,32	2,26
0,95	2,57	2,45	2,37
0,96	2,76	2,62	2,53
0,97	3,02	2,85	2,74
0,98	3,37	3,14	3,00
0,99	4,06	3,71	3,50

 

Пояснения к заданию 2.

Для неисключенных систематических составляющих применяют рандомизацию, то есть их перевод в разряд случайных величин с равномерным законом распределения.

Тогда, если известны пределы ±∆_Сi систематических составляющих погрешности, интервальная характеристика погрешности Δ_СΣ = К . Значение К при геометрическом суммировании пределов неисключенных систематических составляющих принимают К = 0,95 для Рд = 0,9, К = 1,1 для Рд = 0,95, К = 1,4 для Рд = 0,99, но можно без больших потерь для точности расчетов принимать и К = 1.

В случае суммирования неисключенных систематических и случайных составляющих целесообразно определить дисперсии неисключенных систематических погрешностей и далее выполнить геометрическое суммирование по формуле

σ_Σ = .

Дисперсия случайной величины с равномерным законом распределения σ_i² = Δ²_Сi/3, если заданы симметричные предельные значения величины ±∆_Сi, или σ_i² = Н²_i/12, если известен размах значений этой величины (например, Н – цена деления шкалы прибора).

Пример 1. Определить погрешность вольтметра при следующих условиях: предел систематической составляющей основной погрешности γ_с = ±0,4%; СКО случайной составляющей σ(∆º) = 0,2%; предел допускаемой вариации Н = 0,4%;.

Погрешность определим как сумму систематической, случайной составляющих и вариации, применив принцип рандомизации к составляющим систематической погрешности и вариации. Тогда дисперсия основной погрешности составит значение

σ_о² = γ_с²/3+ σ²(∆º)+Н²/12 = 0,16/3+0,04+0,16/12 ≈ 0,106 (%)²

Варианты значений предела допускаемых значений систематической составляющей погрешности γ_с, предела среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности σ, предела допускаемой вариации Н, доверительная вероятность Р приведены в таблице 1.

Задание 2. Оценить интервал, в котором находится основная погрешность средства измерений с заданной вероятностью (суммирование составляющих погрешности)

Для измерительного прибора нормированы характеристики основной погрешности по ГОСТ 8.009-84: предел допускаемых значений систематической составляющей погрешности γ_с, предел среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности σ, предел допускаемой вариации Н. Определите границы интервала значений основной погрешности измерительного прибора, в котором она находится с доверительной вероятностью Р.

Вариант
±γс, %	0,3	0,3	0,3	0,2	0,2	0,2	0,3	0,3	0,3	0,2	0,2	0,2	0,15	0,15	0,15
σ, %	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1
Н, %	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
Р	0,9	0,95	0,98	0,9	0,95	0,98	0,9	0,95	0,98	0,9	0,95	0,98	0,9	0,95	0,98

 

Вариант
±γс, %	0,4	0,4	0,4	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4
σ, %	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
Н, %	0,4	0,4	0,4	0,5	0,5	0,5	0,4	0,4	0,4	0,5	0,5	0,5	0,6	0,6	0,6
Р	0,9	0,95	0,98	0,9	0,95	0,98	0,9	0,95	0,98	0,9	0,95	0,98	0,9	0,95	0,98

Примечание. Для определения доверительных границ погрешности используйте значения коэффициента t, зависящего от доверительной вероятности Р: 1,6 при Р = 0,9; 2,0 при Р = 0,95; 2,3 при Р = 0,98.

Пример выполнения задания 2.

Для измерительного прибора нормированы характеристики основной погрешности по ГОСТ 8.009-84: предел допускаемых значений систематической составляющей погрешности γ_с=±1%, предел среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности σ=0,5%, предел допускаемой вариации Н=1%. Определите границы интервала значений основной погрешности измерительного прибора, в котором она находится с доверительной вероятностью Р=0,95.

Для определения доверительных границ основной погрешности применим метод рандомизации в отношении систематической составляющей погрешности и вариации, приняв их случайными величинами с равномерным законом распределения. Тогда

γ_о = ±1,6%

Задание 3. Оценка погрешности результата косвенных измерений

При косвенном измерении мощности в активной нагрузке Р = U²/ R получены значения сопротивления R ±1 Ом, напряжения U±3В. Определите предельные значения абсолютной и относительной погрешности результата измерений мощности. Задачу решите двумя способами:

а) сложением (с учетом коэффициентов влияния) относительных погрешностей прямых измерений сопротивления и напряжения, после чего рассчитывается предел абсолютной погрешности результата измерений;

б) расчетом предельных значений мощности по уравнению косвенных измерений: Pmax = U²max/Rmin, Pmin = U²min/Rmax, и предела абсолютной погрешности результата измерения ΔP = ±(Pmax – Pmin)/2, после чего определяется относительная погрешность.

Сравните полученные двумя способами результаты.

Вариант
R, Ом
U, В

 

Вариант
R, Ом
U, В

 

Вариант
R, Ом
U, В

 

 

Задание 4. Построение алгоритма обработки многократных измерений физической величины и оценка качества алгоритма.

 

4.1. Исходные данные

 

Варианты задания измеряемой физической величины приведены в таблице 2.1.

 

Структура случайной последовательности многократных измерений имеет вид:

 

,

где ,

- центрированная случайная последовательность погрешности многократных измерений.

 

 

Для случая рассматриваются два варианта задания характеристик случайно последовательности.

Вариант 1 – неравноточные и некоррелированные многократные измерения с корреляционной матрицей погрешности.

 

где

 

 

 

Вариант 2 – равноточные коррелированные многократные с корреляционной функцией

 

 

3.2. Методические указания по построению алгоритма обработки многократных измерений.

Для случая и варианта 1 структура алгоритма обработки многократных измерений имеет следующий вид:

 

где - весовые коэффициенты алгоритма обработки.

 

Определение весовых коэффициентов алгоритма производится по следующему алгоритму

 

 

где

 

- сумма элементов k-го столбца.

 

 

- элементы матрицы, обратной.

где

 

 

- диагональная квадратная матрица размера 4x4

 

матрица, обратная , имеет следующий вид:

Проверка правильности определения весовых коэффициентов производится

по соотношению:

 

Для случая и варианта 2 матрица имеет размер 3x3, т.е. и выглядит следующим образом:

 

 

 

Элементы обратной матрицы определяются по следующему алгоритму

 

 

- определитель матрицы, полученной на основе вычеркиванием из нее k-й строки и i-го столбца.

 

Для варианта 2 весовые коэффициенты определяются выражениями:

 

 

,

 

 

 

 

И алгоритм обработки имеет следующую структуру

№вар   вид
	ВАРИАНТ 1	ВАРИАНТ 2
	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5
	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5

Литература

1. ГОСТ 8.563-96 ГСИ. Методики выполнения измерений

2. Сергеев А.Г., Латышев М.В., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация, сертификация. Учебное пособие.- М.: Логос, 2008

3. Радкевич Я.М., Схиртладзе А.Г., Лактионов Б.И. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для вузов.- М.: Высшая школа, 2010

4. Рыжаков В.В. Метрология, стандартизация, сертификация. Учебное пособие.- Пенза: Изд-во ПТИ, 2009

5. ГОСТ Р ИСО 5725 Часть 1. Основные положении и определения.