Вопросы к экзамену по математике. ФТК. II семестр.
Группы 1082; 1084; 1088. (2014 год)
(на оценку 4 или 5)
Алгебра.
1. Группы, кольца, поля. Изоморфизм групп.
2. Определение линейного пространства. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.
3. Теорема о линейной зависимости системы из k векторов, каждый из которых является линейной комбинацией некоторой системы из m векторов (k>m).
4. Базис линейного пространства. Теорема об инвариантности числа элементов базиса. Теорема о количестве элементов линейно независимой системы (Т. 1.3, Т.1.4).
5. Координаты вектора. Теоремы о координатах вектора (Т.1.5 и Т.1.7).
6. Определение и свойства скалярного произведения. Угол между векторами.
7. Пространство правильных рациональных дробей с фиксированным знаменателем. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
8. Пространства и .
9. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.
10. Матрицы: определение; сложение и умножение на число. Размерность и базис пространства матриц одного размера.
11. Перемножение матриц. Свойства.
12. Обратные и транспонированные матрицы.
13. Перемножение матриц, разбитых на блоки.
14. Матрицы элементарных преобразований.
15. Ортогональные матрицы.
16. Определитель матрицы: определение, разложение по первому столбцу. Определитель верхней и нижней треугольных матриц. Связь определителей и .
17. Перестановки.
18. Теорема о выражении определителя через сумму слагаемых, в каждом из которых содержится произведение элементов матрицы (по одному из каждой строки и каждого столбца), снабженных знаком по некоторому правилу.
19. Свойства определителей: перестановка строк (столбцов), разложение по произвольному столбцу (строке), сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-ой строки.
20. Линейность определителя по элементам строки или столбца. Определитель матрицы, строки (столбцы) которой являются линейно зависимыми. Определитель матрицы, к некоторой строке которой прибавлена другая, умноженная на число. Определитель Вандермонда.
21. Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.
22. Обратная матрица. Следствия о треугольных матрицах.
23. LU – разложение матрицы.
24. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы несовместны или имеют единственное решение.
25..Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы имеют бесконечно много решений. Структура общего решения систем.
26. Однородные системы линейных уравнений.
27. Теорема Крамера.
28. Горизонтальный и вертикальный ранги матрицы. Ранг по минорам. Их совпадение для трапециевидной матрицы.
29. Неизменность ранга матрицы при умножении ее на невырожденную. Теорема о равенстве рангов для произвольной матрицы.
30. Теорема Кронекера-Капелли.
31. Собственные числа и векторы матрицы. Совпадение характеристических многочленов у подобных матриц. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.
32. Связь между линейной зависимостью системы векторов и соответствующей системы координатных столбцов. Связь координатных столбцов одного вектора в разных базисах.
33. Сумма и пересечение двух подпространств. Теорема о существовании для подпространства : .
34. Теорема о размерности прямой суммы, непрямой суммы двух подпространств.
35. Линейное отображение линейных пространств. Матрица отображения в некоторых базисах. Ее использование для вычисления образа вектора. Связь матриц отображения в разных базисах.
36. Ядро и образ отображения. Ранг отображения, его связь с рангом матрицы отображения. Дефект отображения.
37. Изоморфизм линейных пространств. Необходимое и достаточное условие существования изоморфизма.
38. Собственные числа и собственные векторы оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов.
39. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам оператора. Собственные подпространства, их размерность. Следствия.
40. Евклидовы и унитарные пространства. Матрица Грама системы векторов. Выражение скалярного произведения векторов через матрицу Грама. Связь матриц Грама разных базисов.
41. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема о знаке определителя матрицы Грама линейно независимой системы.
42. Ортогональное дополнение подпространства. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения.
43. Теорема о собственных числах и собственных векторах вещественной симметричной матрицы.
44. Теорема об ортогональном подобии вещественной симметричной матрицы некоторой диагональной матрице. Следствия.
45. Определение билинейной и квадратичной форм. Матрица билинейной формы в некотором базисе, ее использование для вычисления билинейной формы. Связь матриц одной билинейной формы в разных базисах.
46. Теорема о существовании ортогонального преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Практический метод приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования базиса (метод собственных векторов). Построение кривой
.
47. Теорема о необходимом и достаточном условии положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.
48. Теорема о существовании треугольного преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Критерий Сильвестра.
Математический анализ.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
1. Последовательность точек в .Теорема о покоординатной сходимости. Следствие об ограниченной последовательности.
2. Предел функции р переменных. Непрерывность функции р переменных. Теорема Вейерштрасса.
3. Повторные пределы функции двух переменных. Примеры. Условие совпадения повторных и двойных пределов.
4. Дифференцируемость функции р переменных. Дифференцируемость суммы и произведения дифференцируемых функций.
5. Частные производные функции р переменных. Связь между дифференцируемостью функции и существованием частных производных. Пример функции, которая имеет частные производные в точке А, но не дифференцируема в этой точке.
6. Дифференцируемость функции в случае существования и непрерывности частных производных.
7. Производная сложной функции. Частные производные сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
8. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
9. Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы у дифференциалов порядка выше первого.
10. Формула Тейлора функции р переменных.
11. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции одной переменной. Вычисление первой и второй производных функции у(х), заданной неявно уравнением
12. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданных функций р переменных, заданных системой функциональных уравнений. Приемы вычисления производных. Вычисление первых и вторых производных функции z(x,y), заданной неявно уравнением
.
Вычисление первых производных функций y(x), z(x), u(x), заданных неявно системой
.
13. Определение точек экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума.
14. Определение точек условного экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек условного экстремума. Пример: найти точки условного экстремума функции при условии .