Необходимо выяснить, как будут влиять ошибки измерения отдельных величин на искомую величину определяемую при помощи формулы. Разберем этот вопрос в общем виде.
Пусть искомая величина W является функцией нескольких (допустим, трех) величин, измеряемых непосредственно в опыте:
| w=f(x,y,z) | (67) |
Если бы ошибки в измерении величин x,y и z были бесконечно малыми, то ошибка в величине w, определялась бы ее полным дифференциалом:
| (68) |
В действительности, ошибки в измерения величин x, y и z не будут бесконечно малыми, однако для расчета величины ошибки можно воспользоваться аналогичной формулой, подставляя вместо dx, dy и dz действительно конечные величины ошибок Δx, Δ y и Δ z.
Итак, получаем:
| (69) |
где Δw - максимально возможная абсолютная ошибка искомой величины w;
Δx, Δy и Δ z - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z
По формуле (69) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.
В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (69) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.
Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w. Её можно получить, разделив (69) на W, т.е.:
| (70) |
Формула (70) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной зависимости w=f(x,y,z).
Для выражения δw в процентах формулу (70) следует умножить на 100.
В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.
Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, y и z в различных степенях и постоянной А, т.е.:
| w=A·xα · yβ · zγ | (71) |
Причем α, β и γ могут быть любыми положительными или отрицательными числами. Заметим, что формула (72) охватывает случаи, описанные формулами (67) и (68).
Для функциональной зависимости (71) можно получить более конкретное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.
Возьмем производные, входящие в (70):
| (72) |
Подставив в (70) эти значения и значение w по (71), получим:
| (73) |
Откуда:
| (74) |
Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:
| (75) |
Окончательно получаем:
| δw=|αδx|+|βδy|+|γδz| | (76) |
Эта формула еще больше упрощается, если α, β и γ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:
| δw=|δx|+|δy|+|δz| | (77) |
Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых величин x, y и z в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.
Разберем другой случай. Пусть:
| w = x + y + z | (78) |
Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (70) получим:
| (79) |
Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (79).
Для этого преобразуем каждое слагаемое в (79):
| (80) |
Тогда для функциональной зависимости (78) получим формулу для расчета ошибки:
| (81) |
Вполне естественно, что формулы (70) - (81) могут быть распространены на любое число переменных.
Величина относительной ошибки искомой величины в (76), (77) и (81) будет выражена в процентах, если δx, δy и δz подставляются также в процентах.
Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:
| w= x – y | (82) |
Если величины x и у близки друг другу по величине, то вследствие погрешностей этих величин искомое значение w может получиться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.
Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,
Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной погрешностью:
| w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2. |
Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях x и y так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:
|
Применяя к этому случаю формулу (81), получаем тот же результат:
|
Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.
В таблице. 1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С, Д; α, β, γ и l обозначены численные коэффициенты, а через x, y, z и υ - величины, непосредственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δz и δυ - относительные ошибки измеряемых величин, а δw - максимально возможная относительная ошибка искомой величины.
3. Повышение точности и вычисление вероятной ошибки при многократных измерениях.
Выше уже говорилось о том, что при проведении многократных измерений заданной величины при одних и тех же параметрах случайные ошибки проявляются в разбросе получаемых данных.
Если проведено несколько измерений искомой величины, то вполне
естественно, что наиболее достоверным результатом является средне
арифметическая величина из всех измерений. Используя в качестве
окончательного результата это среднеарифметическое значение, можно
в значительной мере снизить влияние случайных ошибок при измерениях.
Естественно, что чем больше произведено измерений, тем с большей
уверенностью исключаются случайные ошибки, и в пределе при бесконечно
большом числе измерений окончательный результат будет содержать
лишь систематическую ошибку.
Абсолютная случайная ошибка при нескольких измерениях величины
вычисляется по формуле:
| (83) |
В этой формуле n - число измерений, wcp - среднеарифметическое значение из всех полученных величин w т.е.:
| wcp=Σw/n | (84) |
Ошибка, вычисляемая по (83), называется квадратичной. Из самого вида (83) ясно, что при n → ∞ ошибка Δwкв → 0.
Однако функция (83) такова, что увеличение количества измерений с 2 до 5 сильно снижает эту ошибку; с 5 до 10 - несколько меньше, а увеличение количества измерений, например с 20 до 30, уже очень мало меняет величину этой ошибки.
Заметим, что для вычисления рассматриваемой ошибки необходимо иметь полученные в результате эксперимента величины w, что не всегда требовалось для оценки ошибки отдельного измерения.