В системе организации воздушного движения
При выборе методов оптимизации процессов УВД их целесообразно раз- делить на два вида – статические и динамические. К статическим процессам УВД относят в основном процессы планирования и организации управления воздушным движением, в которых не рассматриваются или не учитываются динамические свойства объектов системы УВД, в частности таких объектов, как воздушные суда.
К динамическим процессам относят, прежде всего, процессы непосред- ственного УВД, а также процессы организации, связанные с организацией траекторий движения ВС. В обоих случаях в процессе решения задачи воз- душное судно рассматривается как динамический объект, состояние которого в воздушном пространстве и характеристики движения меняются и могут быть управляемы. В отличие от этого, например, при планировании потоков воздушного движения исходные данные о расположении воздушных трасс и аэродромов, состоянии технических средств обеспечения полетов, метео- условия и т. п. считаются статичными, т. е. не учитываются их возможные изменения. С точки зрения оптимизации отличие между статическими, и ди- намическими процессами следующее: при оптимизации статических процес-
сов следует найти одно оптимальное решение – вектор X *; при оптимизации
динамических процессов необходимо найти последовательность оптималь-
ных решений X *, Х *, Х *,..., для одного состояния динамического объекта,
1 2 3
второго, третьего и.т.д., тем самым найти оптимальную траекторию движе-
ния объекта из начального в конечное желаемое состояние.
Оптимизация статических процессов
При оптимизации статических процессов используются модели задач ма- тематического программирования. Наиболее известной является задача ли- нейного программирования (ЗЛП), в которой все функции f (Х), g (Х) – линей-
ны. Линейность, например, функции f (Х) означает, что, если вектор X содер- жит только одну переменную, то эта функция на рисунке может быть изоб- ражена в виде прямой линии, если переменных две, то функция представляет из себя плоскость, при большем количестве переменных функция представ- ляет из себя гиперплоскость (пытаться представить внешний вид такой функции не стоит). Подобно уравнению прямой на плоскости, линейная функция может быть представлена в виде суммы:
f (X) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + … + cnxn,
где n – количество переменных х в векторе X.
Запись ЗЛП получается из записи обшей задачи математического про-
граммирования путем конкретизации вида функций f (Х), g (Х):
f (X) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + … + cnxn → max (min)
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + … + a 1 nxn ≤ (≥, =) b 1
……………………………
am 1 + amx 2 + amx 3 + … + amxn ≤ (≥, =) bm.
Здесь m – количество ограничений, в каждом ограничении может стоять или знак равенства, тогда это уравнение-ограничение, или знак неравенства, тогда это неравенство-ограничение; коэффициенты ci, aji, bj – некоторые кон- станты, которые характеризуют условия, для которых осуществляется поиск оптимальных решений, таких как неуправляемые параметры процесса, име- ющиеся ресурсы, значимость переменных и др. в зависимости от смысла за- дачи и переменных. Можно использовать более лаконичную форму записи:
a
i 1
a
cixi → max(min),
i 1
aijxi ≤ (≥, =) bj, j = 1,2,3, …, m,
xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, …, n.
Последняя строчка в выражении есть запись условия неотрицательности всех переменных вектора X, т.е. в ЗЛП считается, что все переменные х должны быть больше или равны 0.
Приведем простой пример задачи линейного программирования (пример имеет иллюстративное, а не практическое значение, поэтому не стоит ис-
пользовать его в том же виде для практической оптимизации деятельности авиапредприятий).
Пример 1. Авиакомпании требуется организовать регулярные перевозки пассажиров между двумя городами. В распоряжении авиакомпании имеется два типа ВС, известны следующие характеристики: c 1, c 2 – пассажировме- стимость первого и второго типов; а 11, а 12 – средние затраты топлива одного и второго типа ВС за полет между двумя городами; b 1 – топливные ресурсы в авиакомпании; b 2 – количество имеющихся ВС первого типа; b 3 – количество имеющихся ВС второго типа. Задача оптимизации состоит в следующем. Необходимо так выбрать количество ВС по типам при планировании рейсов, чтобы количество перевезенных пассажиров было максимальным, при име- ющихся запасах топлива и количестве ВС по типам. Для формальной записи задачи введем переменные: x 1 – количество ВС первого типа, x 2 – количество ВС второго типа. Тогда задача запишется следующим образом:
c 1 x 1 + c 2 x 2 → max, a 11 x 1 + a 12 x 2 ≤ b 1, x 1 ≤ b 2, x 2 ≤ b 3, x 1, x 2 ≥ 0.