Метод билинейного преобразования относится к аналитическим методам расчета.
По методу билинейного преобразования синтезируемому ЦФ ставится в соответствие некоторый аналоговый фильтр-прототип (АФП) с передаточной функцией Н(s) и частотной характеристикой H(j×Ω), однозначно связанными с передаточной функцией H(z) и частотной характеристикой H(j×ω) ЦФ:
АФП ЦФ АФП ЦФ
Связь эта определяется прямой s=f(z) и обратной z=f-1(s) преобразующими функциями и соответствующими им при s=j×Ω и z=ej×ωTд преобразованиями частот
Ω=f(ω), ω=f-1(Ω) аналогового и цифрового фильтров.
С помощью этих преобразований определяются требования к АФП, по которым хорошо разработанными методами синтезируется его передаточная функция H(s), преобразуемая затем в искомую передаточную функцию ЦФ H(z).
Билинейное преобразование, которое определяется следующим образом:
| s=f(z)=(2/T)[(1–z-1)/(1+z-1)] | (1) |
Можно также найти обратное соотношение
| z-1=[(2–s×T)/(2+s×T)] | (2) |
Из свойств процедуры перехода на основе билинейного преобразования следует, что мнимая ось S-плоскости отображается в единичную окружность в Z-плоскости (где |z|=1)
Рис. 2. Свойства процедуры перехода на основе билинейного преобразования
Билинейное преобразование – однозначная функция. Это означает, что каждой точке в Z-плоскости соответствует точно одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого свойства однозначности следует, что отсутствует эффект наложения спектров при билинейной процедуре отображения.
Методика расчета цифровых фильтров на основе метода билинейного преобразования включает в себя нахождение подходящей передаточной функции Н(s) аналогового фильтра и применение к ней билинейного преобразования для получения передаточной фикции H(z) требуемого цифрового фильтра
| (3) |
При этом преобразовании будут сохраняться и частотные характеристики, и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтра идентичны, одинакова только их «форма». Например, если амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра монотонно спадает при 0 <W< ¥, то соответствующий цифровой фильтр, полученный с помощью соотношения (3), будет обладать монотонно спадающей АЧХ при 0 <w< ¥,. То есть, если АЧХ аналогового фильтра имеет k подъемов и спадов при 0 <W< ¥, то и амплитудно-частотная характеристика соответствующего цифрового фильтра будет обладать k подъемами и спадами.
В результате перехода к нормированным частотам ЦФ частотные преобразования принимают вид
| (4) |
Характер деформации частот при билинейном преобразовании показан на рис. 3.
Рис. 3. Преобразование АЧХ аналогового ФНЧ в АЧХ цифрового ФНЧ
Для обеспечения равенства 
необходимо деформировать частоту аналогового ФНЧ – прототипа: 
.
Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид частотных характеристик при преобразовании. Это означает, что широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной областью отображаются в широкополосные цифровые фильтры без эффекта наложения. В этом заключается основное преимущество этого метода по сравнению с методом инвариантности импульсной характеристики. Недостатком билинейного преобразования является то, что нелинейность соотношения между цифровой частотой w и аналоговой частотой Ω приводит к искажению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кроме того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная характеристика.