Определение линейного пространства.

Вычисление определителей.

ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Определитель равен …

			– 22

Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
. Тогда

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …

			– 1


			– 5

Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда По условию задачи определитель должен равняться то есть
Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …

			– 1
			– 5

Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда
По условию задачи определитель должен равняться то есть
Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Определитель равен …

			– 16
			– 22
			– 26
			– 8

Решение:
Вычислим определитель, например, разложением по первой строке:

ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …

			– 1

			– 5

Решение:
Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки:

По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть
Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Определитель равен …


			– 144

Решение:
Воспользуемся свойствами определителей, например, к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (–1):

так как определители с одинаковыми строками равны нулю.

ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Разложение определителя по строке может иметь вид …

Решение:
Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки:

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Определитель не равный нулю может иметь вид …

Решение:
Вычислим каждый из определителей, например, разложением по первой строке:
1)
2)
3)
4)

Умножение матриц.

ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Дана матрица Тогда матрица имеет вид …

Решение:
Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица C размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i -й строки матрицы A и j -го столбца матрицы B.
Тогда

ЗАДАНИЕ N 38 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда существует произведение матриц …

Решение:
Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица D размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i -ой строки матрицы A и j -го столбца матрицы B, то есть число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй. Данное условие выполняется для произведения

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда существует произведение матриц …

Решение:
Произведением матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Проверим выполнение данного условия:
1) Для произведения условие не выполнено, так как у матрицы B один столбец, а у матрицы A две строки.
2) Для произведения условие не выполнено, так как у матрицы C два столбца, а у матрицы B три строки.
3) Для произведения условие не выполнено, так как у матрицы A три столбца, а у матрицы C две строки.
4) Для произведения условие выполнено, так как размерность матрицы C – 2×2, матрицы A – 2×3 и матрицы B – 3×1. То есть число столбцов матрицы C равно числу строк матрицы A, а число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Если матрица вырожденная, то значение a равно …

			– 6

			– 5

Решение:
Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица C размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i -ой строки матрицы A и j -го столбца матрицы B. Тогда

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Тогда

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Дана матрица Тогда матрица имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Операция умножения матриц обладает свойством …

Определение линейного пространства.

ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Элементы линейного пространства L, удовлетворяющие свойству называются …

			противоположными
			нейтральными
			обратными
			нулевыми

Решение:
По определению линейного пространства для любого существует единственный противоположный элемент , удовлетворяющий свойству

ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Для элементов линейного пространства операции сложения и умножения на действительное число обладают свойством …

Решение:
Множество L образует линейное пространство, если для любых двух его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число со свойствами:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Аксиомой линейного пространства L является …

			,
			;
			,
			;

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Линейное пространство L не обладает свойством …

			для любых и
			противоположный элемент является единственным для любого
			для любого
			для любых и

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Среди представленных множеств линейное пространство образует …

			множество всех комплексных чисел
			множество всех натуральных чисел
			множество всех положительных иррациональных чисел
			множество всех отрицательных рациональных чисел

Решение:
Множество L образует линейное пространство, если для любых 2-х его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число со свойствами:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
При проверке аксиом получим: для множества натуральных чисел, множества всех положительных иррациональных чисел и множества всех отрицательных рациональных чисел не выполняется шестая аксиома.

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Среди представленных множеств линейное пространство не образует …

			множество всех матриц размерностью содержащих только положительные числа
			множество всех векторов, принадлежащих пространству
			множество всех матриц размерностью
			множество всех векторов, принадлежащих пространству

Решение:
Множество L образует линейное пространство, если для любых 2-х его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число ; со свойствами:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
При проверке аксиом получим, что множество всех матриц размерностью m ´ n, содержащих только положительные числа, не образуют линейного пространства, т.к. умножение на отрицательное число получаем матрицу с отрицательными числами и не выполняется шестая аксиома.

Квадратичные формы.

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Квадратичные формы
Матрице соответствует квадратичная форма , равная …

Решение:
Слагаемые из формы можно представить в виде . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, то есть , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы . Следовательно, заданная квадратичная форма имеет вид .

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Квадратичные формы
Матрица квадратичной формы

имеет вид …

Решение:
Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали. Слагаемые из формы можно представить в виде . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т.е. , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы
Следовательно, заданная квадратичная форма описывается матрицей

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Квадратичные формы
Отрицательно определенная квадратичная форма может иметь вид …

Решение:
Квадратичная форма L называется отрицательно определенной, если при всех значениях переменных , из которых хотя бы одно отлично от нуля,
1) Для квадратичной формы характеристическое уравнение имеет положительный и отрицательный корни Следовательно, квадратичная форма является знаконеопределенной.
2) Для квадратичной формы характеристическое уравнение имеет положительный и отрицательный корни Следовательно, квадратичная форма является знаконеопределенной.
3) Для квадратичной формы характеристическое уравнение имеет положительный и отрицательный корни Следовательно, квадратичная форма является знаконеопределенной.
4) Для квадратичной формы характеристическое уравнение имеет отрицательные корни Следовательно, является отрицательно определенной квадратичной формой.

ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Квадратичные формы
Положительно определенная квадратичная форма может иметь вид …

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Квадратичные формы
Квадратичная форма, не являющаяся знакоопределенной, может иметь вид …

Решение:
Квадратичная форма L называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных , из которых хотя бы одно отлично от нуля,
1) Для квадратичной формы характеристическое уравнение имеет положительные корни Следовательно, квадратичная форма является знакоположительной.
2) Для квадратичной формы характеристическое уравнение имеет отрицательные корни Следовательно, квадратичная форма является знакоотрицательной.
3) Для квадратичной формы характеристическое уравнение имеет отрицательные корни Следовательно, квадратичная форма является знакоотрицательной.
4) Для квадратичной формы характеристическое уравнение имеет положительный и отрицательный корни Следовательно, квадратичная форма не является знакоопределенной.