От недостатков ФЗ в значительной степени свободна форма представления чисел с плавающей запятой (ПЗ), известная также под названиями нормальной или полулогарифмической формы. В данном варианте каждое число разбивается на две группы цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая — порядком. Число представляется в виде произведения Х = ±mq±р , где m — мантисса числа X, р — порядок числа, q — основание системы счисления.
Для представления числа в форме с ПЗ требуется задать знаки мантиссы и порядка, их модули в q-ичном коде, а также основание системы счисления (рис. 1). Нормальная форма неоднозначна, так как взаимное изменение m и р приводит к «плаванию» запятой, чем и обусловлено название этой формы.
Рис. 1. Форма представления чисел с плавающей запятой
Диапазон и точность представления чисел с ПТ зависят от числа разрядов, отводимых под порядок и мантиссу.
Помимо разрядности порядка и мантиссы диапазон представления чисел зависит и от основания используемой системы счисления, которое может быть отличным от 2. Например, в универсальных ВМ (мэйнфреймах) фирмы IBM используется база 16. Это позволяет при одинаковом количестве битов, отведенных под порядок, представлять числа в большем диапазоне. Так, если поле порядка равно 7 битам, максимальное значение qn, на которое умножается мантисса, равно 2128 (при q = 2) или 16128 (при q = 16), а диапазоны представления чисел соответственно составят 10-19 < \Х\ <1019 и 10-76 < \Х\ <1076.
В большинстве вычислительных машин для упрощения операций над порядками последние приводят к целым положительным числам, применяя так называемый смещенный порядок. Для этого к истинному порядку добавляется целое положительное число — смещение (рис. 2). Например, в системе со смещением 128 порядок -3 представляется как 125 (-3 + 128). Обычно смещение выбирается равным половине представимого диапазона порядков. Отметим, что смещенный порядок занимает все биты поля порядка, в том числе и тот, который ранее использовался для записи знака порядка.
Рис. 2. Формат числа с ПЗ со смещенным порядком.
Мантисса в числах с ПЗ обычно представляется в нормализованной форме. Это означает, что на мантиссу налагаются такие условия, чтобы она по модулю была меньше единицы (ïqï < 1), а первая цифра после точки отличалась от нуля. Полученная таким образом мантисса называется нормализованной. Если первые i цифр мантиссы равны нулю, для нормализации ее нужно сдвинуть относительно запятой на i разрядов влево с одновременным уменьшением порядка на i единиц. В результате такой операции число не изменяется. В процессе вычислений может получаться ненормализованное число. В таком случае ВМ автоматически нормализует его.
Если для записи числа с ПЗ используется база 2 (q = 2), то часто применяют еще один способ повышения точности представления мантиссы, называемый приемом скрытой единицы. Суть его в том, что в нормализованной мантиссе старшая цифра всегда равна единице (для представления нуля используется специальная кодовая комбинация), следовательно, эта цифра может не записываться, а подразумеваться. Запись мантиссы начинают с ее второй цифры, и это позволяет задействовать дополнительный значащий бит для более точного представления числа. Следует отметить, что значение порядка в данном случае не меняется. Скрытая единица перед выполнением арифметических операций восстанавливается, а при записи результата — удаляется. Таким образом, нормализованная мантисса 0,101000(1) при использовании способа «скрытой единицы» будет иметь вид 0,010001 (в скобках указана цифра, не поместившаяся в поле мантиссы при стандартной записи).
Для более существенного увеличения точности вычислений под число отводят несколько машинных слов, например два. Дополнительные биты, как правило, служат для увеличения разрядности мантиссы, однако в ряде случаев часть из них может отводиться и для расширения поля порядка.
Рассмотренные принципы представления чисел с ПЗ поясним на примере. На рис. 3 представлен типичный 32-битовый формат числа с ПЗ. Старший (левый) бит содержит знак числа. Значение смещенного порядка хранится в разрядах с 1-го по 8-й и может находиться в диапазоне от 0 до 255. Для получения фактического значения порядка из содержимого этого поля нужно вычесть фиксированное значение, равное 128. С таким смещением фактические значения порядка могут лежать в диапазоне от -128 до +127. В примере предполагается, что основание системы счисления равно 2. Третье поле слова содержит нормализованную мантиссу со скрытым разрядом (единицей). Благодаря такому приему 23-разрядное поле позволяет хранить 24-разрядную мантиссу в диапазоне от 0,5 до 1,0.
Рис. 3. Типичный 32-битовый формат числа с плавающей запятой
На рис. 4 приведены диапазоны чисел, которые могут быть записаны с помощью 32-разрядного слова.
Рис. 4. Числа, представимые в 32-битовых форматах: а — целые числа с фиксированной запятой; б — числа с плавающей запятой
В варианте с ФЗ для целых чисел в дополнительном коде могут быть представлены все целые числа от -231 цо 231 - 1, то есть всего 232 различных чисел (см. рис. 2.22, а).
Для случая ПЗ возможны следующие диапазоны чисел (см. рис. 2.22, б):
· отрицательные числа между -(1 - 2-24) ´ 2127 и -0,5 ´ 2-128;
· положительные числа между 0,5 ´ 2-128 и (1 - 2-24) ´ 2127.
В эту область не включены четыре участка:
· отрицательные числа, меньшие чем -(1 - 2-24) ´ 2127 — отрицательное переполнение;
· отрицательные числа, большие чем -0,5 ´ 2-128 — отрицательная потеря значимости;
· положительные числа, меньшие чем 0,5´2-128 — положительная потеря значимости;
· положительные числа, большие чем (1 - 2-24) ´ 2127 — положительное переполнение.
Показанная запись числа с ПЗ не учитывает нулевого значения. Для этой цели используется специальная кодовая комбинация. Переполнения возникают, когда в результате арифметической операции получается значение большее, чем можно представить порядком 127 (2120 ´ 2100 = 2230). Потеря значимости — это когда результат представляет собой слишком маленькое дробное значение (2-120 ´ 2-100 = 2-230). Потеря значимости является менее серьезной проблемой, поскольку такой результат обычно рассматривают как нулевой.
Следует также отметить, что числа в форме с ПЗ, в отличие от чисел в форме с ФЗ, размещены на числовой оси неравномерно. Возможные значения в начале числовой оси расположены плотнее, а по мере движения вправо — все реже (рис. 5). Это означает, что многие вычисления приводят к результату, который не является точным, то есть представляет собой округление до ближайшего значения, представимого в данной форме записи.
Рис. 5. Плотность чисел с плавающей запятой на числовой оси
Для формата, изображенного на рис. 4, имеет место противоречие между диапазоном и точностью. Если увеличить число битов, отведенных под порядок, расширяется диапазон представимых чисел. Однако, поскольку может быть представлено только фиксированное число различных значений, уменьшается плотность и тем самым точность. Единственный путь увеличения как диапазона, так и точности — увеличение количества разрядов, поэтому в большинстве ВМ предлагается использовать числа в одинарном и двойном форматах. Например, число одинарного формата может занимать 32 бита, а двойного — 64 бита.
В настоящее время для всех ВМ рекомендован стандарт IEEE 754, разработанный общепризнанным международным центром стандартизации IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers).
Этот стандарт был разработан с целью облегчить перенос программ с одного процессора на другие и нашел широкое применение практически во всех процессорах и арифметических сопроцессорах.
Рис. 6. Основные форматы IEEE 754: а — одинарный; б — двойной.
Стандарт определяет 32-битовый (одинарный) и 64-битовый (двойной) форматы (рис. 6) с 8- и 11-разрядным порядком соответственно. Основанием системы счисления является 2. В дополнение, стандарт предусматривает два расширенных формата, одинарный и двойной, фактический вид которых зависит от конкретной реализации. Расширенные форматы предусматривают дополнительные биты для порядка (увеличенный диапазон) и мантиссы (повышенная точность). Не все кодовые комбинации в форматах IEEE интерпретируются обычным путем — некоторые комбинации используются для представления специальных значений. Предельные значения порядка, содержащие все нули (0) и все единицы (255 — в одинарном формате и 2047 — в двойном формате), определяют специальные значения.
В стандарте определены следующие классы чисел:
· Порядки в диапазоне от 1 до 254 для одинарного формата и от 1 до 2036 — для двойного формата, используются для представления ненулевых нормализованных чисел. Порядки смещены так, что их диапазон составляет от -126 до +127 для одинарного формата и от -1022 до +1023 — для двойного формата. Нормализованное число требует, чтобы слева от двоичной запятой был единичный бит. Этот бит подразумевается, благодаря чему обеспечивается эффективная ширина мантиссы, равная 24 битам для одинарного и 53 битам — для двойного форматов.
· Нулевой порядок совместно с нулевой мантиссой представляют положительный или отрицательный 0, в зависимости от состояния бита знака мантиссы.
· Порядок, содержащий единицы во всех разрядах, совокупно с нулевой мантиссой представляют положительную или отрицательную бесконечность, в зависимости от состояния бита знака, что позволяет пользователю самому решить, считать ли это ошибкой или продолжать вычисления со значением, равным бесконечности.
· Нулевой порядок в сочетании с ненулевой мантиссой представляют ненормализованное число. В этом случае бит слева от двоичной точки равен 0 и фактический порядок равен -126 или -1022. Число является положительным или отрицательным в зависимости от значения знакового бита.
· Кодовая комбинация, в которой порядок содержит все единицы, а мантисса не равна 0, используется как признак «не числа» (NAN — Not a Number) и служит для предупреждения о различных исключительных ситуациях.
Блоки операций с плавающей запятой обычно согласованы со стандартом IEEE 754 и рассчитаны на обработку чисел в формате двойной длины (64 бита). В большинстве ВМ реальная разрядность таких блоков даже больше (80 бит). Таким образом, наилучшим вариантом при проведении вычислений с плавающей запятой можно считать формат двойного слова. При выборе формата меньшей длины (32 разряда) вычисления все равно ведутся с большей точностью, после чего результат округляется. Таким образом, использование короткого формата чисел с плавающей запятой, как и в случае целых чисел с фиксированной запятой, помимо экономии памяти никаких иных преимуществ также не дает.