Формирование ориентировочной схемы доказательства

Методика изучения теоремы

Теорема «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» формулируется на уроке № 3

І. Этап введения

Мотивация целесообразности изучения теоремы

- Ребята, мы изучаем с вами прямоугольный треугольник, сегодня мы познакомимся с очень важной теоремой – теоремой Пифагора. А что вы знаете о Пифагоре?

Ученики отвечают.

-Пифагор – древнегреческий ученый, который родился в 570 г. До н.э. на о. Самос (Греция), постиг все науки Египта (жил там 22 года), в том числе и математику, основал позже школу пифагорейцев. А слышали ли вы что-то о теореме Пифагора?

Ученики отвечают: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

- Верно, это шуточная формулировка теоремы. Теперь я предлагаю вам решить древнюю китайскую задачу.

Задача: «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?».

Для решения этой задачи необходима теорема Пифагора. Но для начала следует повторить пройденный материал.

Актуализация знаний и умений учащихся, необходимых для сознательного усвоения теоремы

-Ребята, для того, чтобы овладеть теоремой Пифагора, повторим некоторые факты о прямоугольных треугольниках.

Тест «Прямоугольные треугольники: (на партах лежат тесты, учащиеся работают в парах, верный ответ ребята просто обводят ручкой). После выполнения теста ученики формулируют определения и свойства, использованные при решении теста.

Тест «Прямоугольные треугольники»

Обведите кружком правильный с вашей точки зрения ответ.

1. Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен:

А) 450 Б)180 0 В) 600 Г) 900

2. Найдите на чертеже прямоугольный треугольник:

А) Б) В) Г)

           
   
   
 
 
 

 

 


3. Стороны МК и КР, образующие прямой угол в прямоугольном треугольнике МКР, называют:

А) катетами; Б) основаниями;

 

В) гипотенузами; Г) другой ответ

 

       
   
 

 


4. По предыдущему чертежу назовите гипотенузу:

А) КР Б) КМ В) МР Г) нет верного ответа

 

5. Чему равна сумма углов <М и <Р в прямоугольном треугольнике МКР (см. предыдущий рис.):

А) 450 Б) 1800 В) 900 Г) нельзя определить

 

6. Укажите формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника с катетами a и b:

А)S = ab Б) S = ab В) S = (a + b)с Г) другой ответ

           
   
 
 
 
   

 

 


Подведение учащихся к формулировке теоремы

Учитель предлагает выполнить практическую работу. Каждому раздается карточка с таблицей, где необходимо заполнить пропуски. В ходе выполнения работы ученики замечают, что ответы в некоторых столбцах совпадают.

Катет а Катет b Гипотенуза c a2 b2 c2 a2+c2 b2+c2 a2+b2
1.            
2.            
3.            

 

ІІ. Этап усвоения

2.1. Формулировка теоремы, овладения ее содержанием, структурой, назначением

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2

Краткая запись на доске:

 

Учитель предлагает сформулировать теорему в условной форме:

Условная форма: Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Утверждение истинно.

Формирование ориентировочной схемы доказательства

}Организация поиска доказательства.

-Ребята, как в квадрате со стороной а найти диагональ d?

Учитель объясняет, что для этого нужно найти соотношение между а и d. Напомнив формулу площади квадрата S = a2, учитель с учениками устанавливает, что площадь треугольника равна а2. Он обращает внимание на сл. рисунок объясняя, что на нем изображен квадрат составленный из 4-х треугольников, где например AD=d,а AO=a . Вместе с учениками выясняет, что площадь этого квадрата а 2∙4=2а2из чего следует, что d2=2a2 или d2= а2+ a2. Учитель обращает внимание, что треугольник прямоугольный и равнобедренный.

 

}Составление плана доказательства.

Докажем теорему Пифагора для произвольного прямоугольного треугольника. Существует несколько способов, мы будем использовать метод доказательства через подобные треугольники:

1)изобразим прямоугольный треугольник ABC и проведем высоту CH

2)Устанавливаем подобность между треугольниками ABC, ACH, CBH и используем полученные соотношения.

Доказательство теоремы

1)Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H.

2)Треугольник ACHподобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

, что и требовалось доказать

 

ІІІ. Этап закрепления

Условная форма: Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Утверждение истинно.

Обратное утверждение: Если в треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то этот треугольник – прямоугольный.

Утверждение истинно.

Противоположное утверждение: Если треугольник не прямоугольный, то квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов.

Утверждение истинно.

Противоположное обратному: Если в треугольнике квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, то этот треугольник – не прямоугольный.

Утверждение истинно.

Базовый уровень:

Задача:Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.

Задача:Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет равны 15 см и 9 см.

Задача:Найдите диагонали прямоугольного треугольника со сторонами 5 см и 12 см.

Задача:Основание равнобедренного треугольника равно 60 см, а высота, опущенная на боковую сторону – 72 см. Найдите периметр треугольника.

Задача:Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

Основной уровень:

Задача:Найдите высоту трапеции с основаниями 4 дм и 14 дм и боковыми сторонами 6 дм и 8 дм.

Задача: Катеты прямоугольного треугольника относятся как 20 к 21 ,а разность между радиусами описанной и вписанной окружности равна 17.найдите гипотенузу треугольника.

Задача Докажите, что треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см является прямоугольным треугольником.

ЗадачаВысота прямоугольного треугольника равна 3 и делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 6 см больше второго. Найдите катеты треугольника.

ЗадачаОснование прямоугольной трапеции равны 6 см и 8 см. Один из углов трапеции равен 120˚. Найдите диагонали трапеции.

Высокий уровень

ЗадачаВ равнобедренную трапецию вписана окружность с радиусом 2 см. Найдите стороны трапеции, если ее площадь равна 20 см2.

ЗадачаНайдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14см, 15 см.

ЗадачаВ прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла провели медиану СМ и высоту СН. Найдите гипотенузу, если СМ:СН = 5:4, а МН = 3 см.

ЗадачаДиагонали трапеции равны 4 см и 3 см, а отрезок, который соединяет середины оснований – 2,5 см. Найдите площадь трапеции.

ЗадачаДиагонали вписанного четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что полусумма квадратов его сторон равна квадрату диаметра окружности.

 

IV. Этап использования





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.


ТОП 5 активных страниц!

...