Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси




Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором хотя бы две какие-либо точки тела остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти неподвижные точки, называется осью вращения.

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси задаётся уравнением:

, (27)

где j – угол поворота тела в рад (рис. 27).

 

 

 

Рисунок 27 – Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

 

Алгебраические угловая скорость и угловое ускорение тела определяются формулами:

(28)

 

Направления угловой скорости и углового ускорения определяются знаками величин и . Положительное значение соответствует положительному направлению отсчёта угла поворота j. Модули угловой скорости и углового ускорения равны:

 

(29)

 

Угловая скорость w, рад/с, и частота вращения тела n, об/мин, связаны зависимостью:

 

Скорость точки М тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии О1М=h (рис. 27), вычисляется по формуле:

 

(30)

 

Ускорение этой точки равно векторной сумме касательного и нормального ускорений (рис. 27), т.е.:

 

.

 

Модули ускорений определяются следующим образом:

(31)

 

При рассмотрении передаточных механизмов следует учесть, что, если два колеса находятся в зацеплении, скорость общей точки зацепления (контакта) каждого колеса одна и та же. Это же справедливо и для реечного зацепления зубчатой рейки с зубчатым колесом. В случае, когда два колеса связаны ремённой передачей скорости всех точек ремня и точек, лежащих на ободах этих колёс, также одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не проскальзывает.

Пример 1. Груз 1 движется по закону . Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки М механизма в момент времени, когда путь S, пройденный грузом, равен 10 см, если R2= =30см, r2 = 10 см, R3 = 20 см, r3 = 12 см (рис. 28), где x – в см, t – в с.

 

План решения задачи

1) Найти момент времени t 1, в который путь, пройденный грузом 1, будет равен S.

2) Определить в виде функций от времени следующие величины:

– скорость груза 1;

– угловую скорость колеса 2;

– угловую скорость и угловое ускорение колеса 3.

3) Вычислить значение угловой скорости и углового ускорения колеса 3 для момента времени t = t 1;

4) По формулам (30), (31) определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки М.

 

Рисунок 28 – К примеру 1.

 

Решение: Находим момент времени t 1, когда S = 10 см:

Определяем скорость груза 1:

 

 

Далее находим угловую скорость колеса 2, исходя из нерастяжимости нити и, следовательно, равенстве скорости груза 1 и точки на ободе колеса 2 радиуса r 2, т.е. . Тогда:

Направление угловой скорости соответствует направлению скорости груза 1 (рис. 28).

Считаем, что колёса 2 и 3 находятся в зацеплении без проскальзывания. Следовательно, скорость общей точки колёс одинакова, т.е.:

Откуда определяем угловую скорость и угловое ускорение колеса 3:

В момент времени t1 = 0,5 с:

Вследствие зацепления колёс 2 и 3 направление угловой скорости соответствует направлению угловой скорости , как показано на рисунке 2.2. Угловое ускорение направлено по угловой скорости , т.к. величины и одинакового знака. По формулам (30) и (31) определяем скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки М:

Вектор скорости направлен перпендикулярно радиусу ОМ в сторону вращения колеса 3 (рис. 28), нормальное ускорение – по радиусу к центру колеса, а касательное – перпендикулярно радиусу по направлению углового ускорения .

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: