Методические указания и задания
К контрольным работам студентов
II курса заочного отделения
Для ЗРФ
Составители: Ваксман К.Г.
Михайлова А.В.
Москва,
2006 г.
Контрольная работа № 7 для ЗРФ
Тема: «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и
Кратные интегралы»
Краткие теоретические сведения.
- Частные производные первого порядка. Дана функция .
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)
Например: 1) , ;
2) , (используем формулу ).
Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.
; ; ; .
2.1. Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции при приращении аргументов и , отличающаяся от полного приращения функции на бесконечно малую величину высшего порядка относительно и .
Пусть дана функция и точка . Полным дифференциалом при приращении и будет .
2.2 Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .
3. Двойной интеграл
3.1 – это двойной интеграл от функции по области , – это элемент площади области. Геометрический смысл двойного интеграла при , при в области – это объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, снизу – плоской фигурой на плоскости .
3.2 Если , то двойной интеграл численно равен площади S области .
3.2.1 Двойной интеграл вычисляется сведением к вычислению двух повторных определённых интегралов.
3.2.2 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат .
а) необходимо построить область интегрирования в плоскости .
б) установить порядок интегрирования.
в) Пусть область заключена внутри прямоугольника: , , стороны которого касаются границы области в точках . Точками и граница области разбивается на две линии ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси у в одной точке. Поэтому их уравнения можно записать так: линия ABC: ; линия AEC: . Аналогично, точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ: и ВСЕ: .
.
Сначала вычисляем «внутренний» (в ) интеграл по у, считая х постоянной, а затем вычисляем «внешний» интеграл от полученной функции по х. Можно изменить порядок интегрирования: .
г) Для вычисления площади или при другом порядке интегрирования .
3.2.3 Вычисление площади в полярных координатах . Совместим начало декартовой системы координат с полюсом, а ось ох с полярной осью. Тогда , , .
|
а) Пусть полюс не содержится внутри области интегрирования .
б) Пусть полюс находится внутри или на границе области интегрирования ,
.
Примечание. При вычислении интегралов полезно воспользоваться формулами тригонометрии , а также , , .
4. Тройной интеграл
4.1. – это тройной интеграл от функции по пространственной области , – это элементы объема области .
Физический смысл тройного интеграла 4.1:
при в области – это
масса неоднородного тела в области
с плотностью .
4.2. Если в области , то тройной интеграл численно равен объему тела . .
4.3. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат . .
4.3.1. Необходимо построить или хотя бы схематически представить пространственную область .
4.3.2. Опишем около цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси . Она касается области вдоль линии , которая делит поверхность, ограничивающую область на 2 части: нижнюю и верхнюю .
4.3.3. Этой цилиндрической поверхностью тело спроектируется на плоскость в область D, линия спроектируется на границу области D. Необходимо построить в плоскости область D.
4.3.4. Вычисление тройного интеграла сведем к повторному интегрированию сначала по направлению оси z от до , а затем по области D.
4.3.5. Для вычисления объема тела:
.
4.3.6. Вычисление объема тела в цилиндрической системе координат . Связь между цилиндрической и декартовой системой координат, если полюс и начало декартовой системы координат совмещены, а полярная ось идет по оси ох: , .
Элемент объема ; .
Примеры решения контрольных заданий
Пример 1. ,
; ; ;
; . .
Пример 2. Дана функция , точка и , . Найти:
2а) полный дифференциал при переходе из точки А в точку В.
2б) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , где .
Решение.
2а) Найдём приращение аргументов ; . ; ; ; ; .
.
2б) ; .
; ; ; .
; .
Уравнение касательной плоскости в точке по 2.2
, т.е. или .
Пример 3. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах .
Решение: Переведем уравнение кривой в полярные координаты , , . Тогда , , , . – это полюс. Уравнение границы области: . Это выражение имеет смысл при ; , (т.к. при , получим , что не имеет смысла). Тогда или , т.е. , т.е. и . . Учтем формулы приведения , и четность функций , , поэтому , где вычисляем при изменении от 0 до . По формуле 3.2.3 б)
.
Пример 4. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями .
I. – плоскость ;
II. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси у;
III. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси z;
IV. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси z.
|
–
|