Примеры решения контрольных заданий




Методические указания и задания

К контрольным работам студентов

II курса заочного отделения

Для ЗРФ

Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.

Москва,

2006 г.

Контрольная работа № 7 для ЗРФ

Тема: «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и

Кратные интегралы»

Краткие теоретические сведения.

  1. Частные производные первого порядка. Дана функция .

При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной

(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Например: 1) , ;

2) , (используем формулу ).

Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.

; ; ; .

2.1. Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции при приращении аргументов и , отличающаяся от полного приращения функции на бесконечно малую величину высшего порядка относительно и .

Пусть дана функция и точка . Полным дифференциалом при приращении и будет .

2.2 Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .

3. Двойной интеграл

3.1 – это двойной интеграл от функции по области , – это элемент площади области. Геометрический смысл двойного интеграла при , при в области – это объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, снизу – плоской фигурой на плоскости .

3.2 Если , то двойной интеграл численно равен площади S области .

3.2.1 Двойной интеграл вычисляется сведением к вычислению двух повторных определённых интегралов.

3.2.2 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат .

а) необходимо построить область интегрирования в плоскости .

б) установить порядок интегрирования.

в) Пусть область заключена внутри прямоугольника: , , стороны которого касаются границы области в точках . Точками и граница области разбивается на две линии ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси у в одной точке. Поэтому их уравнения можно записать так: линия ABC: ; линия AEC: . Аналогично, точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ: и ВСЕ: .

.

Сначала вычисляем «внутренний» (в ) интеграл по у, считая х постоянной, а затем вычисляем «внешний» интеграл от полученной функции по х. Можно изменить порядок интегрирования: .

г) Для вычисления площади или при другом порядке интегрирования .

3.2.3 Вычисление площади в полярных координатах . Совместим начало декартовой системы координат с полюсом, а ось ох с полярной осью. Тогда , , .

 

 
φ=φ1
Пусть область заключена между линиями и , которые касаются границы области в точках А и В, разделяющими границу на две линии. и .

а) Пусть полюс не содержится внутри области интегрирования .

б) Пусть полюс находится внутри или на границе области интегрирования ,

.

 

Примечание. При вычислении интегралов полезно воспользоваться формулами тригонометрии , а также , , .

4. Тройной интеграл

4.1. – это тройной интеграл от функции по пространственной области , – это элементы объема области .

Физический смысл тройного интеграла 4.1:

при в области – это

масса неоднородного тела в области

с плотностью .

 

4.2. Если в области , то тройной интеграл численно равен объему тела . .

4.3. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат . .

4.3.1. Необходимо построить или хотя бы схематически представить пространственную область .

4.3.2. Опишем около цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси . Она касается области вдоль линии , которая делит поверхность, ограничивающую область на 2 части: нижнюю и верхнюю .

4.3.3. Этой цилиндрической поверхностью тело спроектируется на плоскость в область D, линия спроектируется на границу области D. Необходимо построить в плоскости область D.

4.3.4. Вычисление тройного интеграла сведем к повторному интегрированию сначала по направлению оси z от до , а затем по области D.

4.3.5. Для вычисления объема тела:

.

4.3.6. Вычисление объема тела в цилиндрической системе координат . Связь между цилиндрической и декартовой системой координат, если полюс и начало декартовой системы координат совмещены, а полярная ось идет по оси ох: , .

Элемент объема ; .

 

Примеры решения контрольных заданий

Пример 1. ,

; ; ;

; . .

 

Пример 2. Дана функция , точка и , . Найти:

2а) полный дифференциал при переходе из точки А в точку В.

2б) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , где .

Решение.

2а) Найдём приращение аргументов ; . ; ; ; ; .

.

2б) ; .

; ; ; .

; .

Уравнение касательной плоскости в точке по 2.2

, т.е. или .

 

Пример 3. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах .

 

Решение: Переведем уравнение кривой в полярные координаты , , . Тогда , , , . – это полюс. Уравнение границы области: . Это выражение имеет смысл при ; , (т.к. при , получим , что не имеет смысла). Тогда или , т.е. , т.е. и . . Учтем формулы приведения , и четность функций , , поэтому , где вычисляем при изменении от 0 до . По формуле 3.2.3 б)

.

 

Пример 4. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями .

I. – плоскость ;

II. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси у;

III. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси z;

IV. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси z.

. На плоскости область D: . куб. ед.
Область находится между поверхностями III и IV, снизу ограничена плоскостью (I), сверху накрыта поверхностью II.

 
 

 


 
 

 

 


х




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: