Задания к контрольной работе № 9 для ЗРФ

Краткая теория.

1. Числовые ряды

1.0) , Число – общий или n -ый член ряда.

1.1) Сумма ряда. Пусть , . называется n -ой частной суммой. Если существует , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда. Иначе ряд – расходящийся.

1.2) ; – остаток ряда. Если , то .

1.3) Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд 1.0) сходится, то . Применяется для доказательства расходимости ряда, таким образом:

1.3.1) Если , то ряд расходится.

1.4) Знакоположительные ряды: , .

Достаточные признаки сходимости:

1.4.1) Признаки сравнения.

Даны ряды (1) и (2) .

1.4.1.2 – 1.4.1.3) Пусть , начиная с , где N = любое натуральное число.

Если ряд сходится, то ряд сходится.

Если ряд расходится, то ряд расходится.

1.4.1.4.) Если , то ряды и сходятся и расходятся одновременно.

1.4.2) Интегральный признак Коши.

Дан ряд , . Пусть – монотонно убывающая функция, т.е. , тогда если: а) сходится, то сходится; б) расходится, то расходится.

1.4.3) Признак Даламбера.

Дан ряд . Пусть .

При .

1.4.4) Радикальный признак Коши.

Дан ряд . Пусть . При .

1.5) Знакочередующиеся ряды.

1.5.0) Ряд , где .

1.5.1) Признак Лейбница.

Пусть а) , ( – монотонно убывают); б) , тогда ряд сходится и его сумма .

1.5.2) Следствие: Остаток ряда . Если ряд сходится, то . Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого члена остатка.

1.6) Знакопеременный ряд. , где имеют разные знаки.

1.7) Если ряд из абсолютных величин членов ряда сходится, то ряд сходится абсолютно.

1.8) Если ряд расходится, а ряд сходится, то говорят, что ряд сходится условно.

1.9) Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов, поэтому, если для знакочередующегося ряда ряд из абсолютных величин расходится, то надо применить признак Лейбница, чтобы проверить, сходится ли исходный ряд условно.

2. Степенные ряды

2.1) ; Числа – коэффициенты ряда. При ряд сходится, называется центром сходимости.

2.1.1) При имеем ряд по степеням х: .

Заменой ряд 2.1) приводится к виду 2.1.1)

2.2) Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что при всех х, таких, что степенной ряд абсолютно сходится, а для всех х, таких, что степенной ряд расходится. Интервал называется интервалом сходимости. При и ряд может сходиться или расходиться. Это необходимо исследовать по признакам 1.3.1), 1.4.1), 1.4.2). Для рядов, расходящихся при всех х, кроме , радиус сходимости , а для рядов, сходящихся при всех х,радиус сходимости .

2.3) План нахождения интервала сходимости и радиуса сходимости .

2.3.0) Дан ряд

2.3.1) Составим ряд из абсолютных величин членов ряда Интервалы сходимости рядов 2.3.0) и 2.3.1) одинаковы.

2.3.2) К ряду 2.3.1), все члены которого положительны, можно применить признак Даламбера или радикальный признак Коши.

Применение признака Даламбера: . В точках х, в которых этот предел меньше 1, ряд сходится, а в которых он больше 1, ряд расходится, значение , при котором это предел равен 1, является значением радиуса сходимости . Вид предела для определения интервала сходимости при применении радикального признака Коши .

2.3.3) Исследуем сходимость числовых рядов на границах интервала сходимости по признакам 1.3.1), 1.4.1) или 1.4.2).

3. Разложение функции в степенные ряды.

3.1) Ряд Тейлора в окрестности

– значение n -ой производной функции в точке . Если , то разложение по степеням х называется рядом Маклорена.

Таблица рядов Маклорена в окрестности , – функция от х,

№	Ряд	Интервал сходимости

4. Применение рядов Тейлора

4.1) Вычисление определённых интегралов с помощью разложения функции в степенной ряд и затем интегрирования его почленно.

4.2) Решение дифференциальных уравнений.

Задано дифференциальное уравнение и начальные условия в точке х = 0. Предположим, что в окрестности х = 0 решение уравнения можно разложить в степенной ряд

а) Этот ряд можно почленно дифференцировать столько, сколько надо, внутри интервала сходимости.

или б) Можно продифференцировать уравнение несколько раз, рассматривая у как функцию от х.

5. Разложение функции в ряд Фурье

5.1) Если задана на , то ряд Фурье для :

, где .

Сумма ряда Фурье – периодическая функция с периодом .

5.2) Если – четная функция, то , где .

5.3) Если – нечетная функция, то , где .