Операции сложения и вычитания целых неотрицательных чисел

Определение. Целое неотрицательное число k называют суммой целых неотрицательных чисел m и p, если существуют непересекающиеся представители чисел m и p, объединение которых является представителем числа k.

Обозначают m + p, то есть k = m + p ( A_m, A_p)[ A_m A_p = A_m A_p = A_k].

Теорема.Сумма целых неотрицательных чисел не зависит от выбора их представителей.

Доказательство. Пусть множества А_m,A_p,B_m,B_p представители произвольных чисел m и p, причем

A_m A_p=B_m B_p= . Так как A_m~ B_m A_p ~ B_p A_m A_p ~ B_m B_p. Если A_m A_p k B_m B_p k, то есть сумма m + p, по определению равная k, не зависит от выбора представителей чисел m и p.

Теорема.Сумма целых неотрицательных чисел существует и единственна, то есть

( m, p N₀)(!k N₀)[k = m + p].

Доказательство. Докажем теорему о существовании и единственности суммы. Пусть m, p — произвольные целые неотрицательные числа, A_m и A_p — их непересекающиеся представители. Так как множества A_m и A_p — конечные, то их объединение A_m A_p так же конечное множество из цепочки A_m A_p находится в некотором классе k разбиения множества М / ~, причем только в нем одном, то есть A_m A_p — представитель числа k по определению суммы целых неотрицательных чисел число k — сумма чисел m и p.

Поскольку класс, в котором находится объединение множеств A_m и A_p единственный, то и сумма чисел m и p единственная. Таким образом, для любых произвольных чисел m и p существует единственное число k, являющееся их суммой.

Определение. Сложением целых неотрицательных чисел называют определенную на множестве N₀ бинарную операцию, в которой образом пары чисел m и p является их сумма — число k. При этом компоненты пары называются слагаемыми.

Сложение целое неотрицательное число ассоциативно, то есть ( m, p, k N₀)[(m + p) + k = m + (p + k)].

Пусть m, p, k — произвольные целые неотрицательные числа, A_m, A_p, A_k — их попарно непересекающиеся представители, то есть A_m A_p = , A_p A_k= , A_m A_k= . Так как для любых m, p, k N₀ по определению объединения их непересекающихся представителей имеет место (A_m A_p) A_k = A_m (A_p A_k),

то (m + p) + k = m + (p + k).

Или через количественную характеристику множеств:

(а + в) + с = а + (в + с) а = n (А), в = n (В), с = n (С), то по определению суммы двух чисел имеем:

а + в = n (А В), в + с = n (В С) (а + в) + с = n ((А В) С).

Так как объединение множеств ассоциативно, то (А В) С=А (В С)

n((А В) С)=n(А (В С)), то по определению суммы двух чисел имеем: n (А (В С)) = а + (в + с).

Таким образом, ( а, в, с N₀)[(а + в) + с = а + (в + с)].

Рассмотрим свойства операции сложения на множестве натуральных чисел.

Свойство 1. Существует нейтральный элемент сложения, это число 0, т.е. ()[m +0=m]

Свойство 2.Сложение целых неотрицательных чисел коммутативно: ( m, p N₀)[m + p = p + m]

Доказательство. Пусть m, p — произвольные целые неотрицательные числа, А_m и А_p — их непересекающиеся представители. Так как ( m, p N₀)(!k N₀)[k = m + p] по теореме о существовании и единственности суммы, то

( A_m, A_p)[ A_m A_p = A_m A_p = A_k] по определению суммы.

Так как объединение множеств коммутативно, то

( A_p, A_m)[ A_p A_m = A_p A_pm = A_k] p + m = k (по определению суммы).

Итак, m + p = k p + m = k по симметричности отношения «равно»

m + p = k k = p + m по транзитивности отношения «равно»

m+ p = p + m ( m, p N₀)[m + p =p +m ].

Из теоремы существования и единственности суммы следует, что:

( m, p N₀´ N₀)(! k N₀)[m + p = k], то есть операция нахождения суммы целых неотрицательных чисел есть бинарная операция на множестве N₀.

Свойство 3. Сложение целых неотрицательных чисел монотонно относительно отношений «равно», «меньше», «больше».

Монотонность операции сложения относительно отношения «равно»:

( m, p, k N₀)[m = p m + k = p + k].

Монотонность операции сложения относительно отношения «меньше»:

( m, p, k N₀)[m<p m+k <p + k].

Монотонность сложения относительно отношения «больше»:

( m, p, k N₀)[m > p m + k >p + k].

Свойство 4. Операция сложение целых неотрицательных чисел сократимо относительно отношений «равно», «меньше», «больше».

Сократимость операции сложения относительно отношения «равно»:

( m, p, k N₀)[ m + k = p + k m =p].

Сократимость операции сложения относительно отношения «<»: ( m, p, k N₀)[m + k< p + k m < p].

Сократимость операции сложения относительно отношения «больше»: ( m, p, k N₀) [ m + k > p + k m > p].

Определение. Целое неотрицательное число k называют разностью целых неотрицательных чисел m и p, если дополнение некоторого представителя числа m является представителем числа k. Обозначают: m — p.

Из определения разности целых неотрицательных чисел следует:

k = m — p ( A_m, A_p)[A_p A_m A_m\A_p = A_k]

Теорема о связи между разностью и суммой. Разность чисел m и p равна числу k тогда и только тогда, когда число m равно сумме чисел p и k.

m — p = k ( A_m, A_p)[A_p A_m A_m\A_p = A_k] (по определению разности)

( A_p, А_k)[A_p A_k = A_p A_k = A_m] m = p + k (определение суммы).

Теорема о существовании и единственности разности. Разность целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда m > p m = p. Если разность существует, то она единственна.

Доказательство. Докажем теорему о существовании и единственности разности. Пусть m, p — произвольные целые неотрицательные числа. Докажем необходимое и достаточное условия существования разности, то есть докажем, что ( k N₀)[k = m — p m p].

Имеем: k = m — p m — p = k m = p + k (по определению отношения «меньше») m > p m = p.

Докажем единственность разности методом от противного. Предположим, что разность не единственна, то есть, что m — p = k m — p = t k t. Имеем: m — p = k m — p = t m = p + k m = p + t p + k = p + t (по сократимости сложения относительно отношения «равно») k = t (m — p = k m — p = t) Л. Следовательноразность единственна.

Определение. Вычитанием целых неотрицательных чисел называют частично определенная на множестве N₀ бинарная операция, в которой образом пары (m, p), находящейся в отношении «больше» или«равно», является разность m — p. Первый компонент пары называется уменьшаемым, второй — вычитаемым.

Рассмотрим свойства операции вычитания.

Свойство 1. Существование нейтрального элемента:

( m N₀)[m — 0 = m] — 0 — нейтральный элемент при вычитании.

Свойство 2. Для операции вычитания имеет место «самонейтрализация»

( m N₀)[m — m = 0].

Свойство 3. Вычитание монотонно относительно отношений «равно», «меньше», «больше»:

Доказательство. Монотонность операции вычитания относительно отношения «равно»:

( m, p, k N₀)[m = p k m m — k = p — k].

Докажем монотонность операции вычитания относительно отношения «равно». Пусть m, p, k — произвольные целые неотрицательные числа. По условию m=p m=k+t p=k + t p— k=t.

Имеем: m — k = t p — k = t m — k = p — k.

Доказательство. Монотонность операции вычитания относительно отношения «меньше»:

( m, p, k N₀)[m < p k m m — k < p — k].

Докажем монотонность операции вычитания относительно отношения «меньше».

По условию m < p ( t N)[p = m + t]. k m ( s N₀)[m = k + s] m — k = s.

Имеем: p = m + t m = k + s p = (k + s) + t = k + (s + t) p — k = s + t s < p — k.

Имеем: m — k = s s < p — k m — k < p — k.

Доказательство. Монотонность операции вычитания относительно отношения «больше»:

( m, p, k N₀)[m > p k m m — k > p — k].

Докажем монотонность операции вычитания относительно отношения «больше».

По условию: m > p p < m (по монотонности относительно отношения «меньше») p — k < m — k (k p) m — k > p — k.

Свойство 4. Операция вычитания сократима относительно отношений «равно», «меньше», «больше».

Сократимость операции вычитания относительно отношения «равно»:

Сократимость операции вычитания относительно отношения «меньше»: ( m, p, k N₀)[ m — k < p — k m < p].

Сократимость вычитания относительно отношения «больше»: ( m, p, k N₀)[m — k > p — k m > p].