Элементы комбинаторики
ПЕРЕСТАНОВКИ - различные комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения этих элементов
Количество перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn=n!
Здесь 
, причем 0!=1, 1!=1
ПРИМЕР Пусть А={1;2;3}. P3-?
Возможные перестановки: (1;2;3) (2;3;1) (3;1;2) (1;3;2) (2;1;3) (3;2;1)
Количество перестановок: 
СОЧЕТАНИЯ - различные комбинации по k элементов, взятых из n элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Количество сочетаний вычисляется по формуле: 
Здесь порядок элементов не важен.
ПРИМЕР Пусть А={1;2;3}. 
Возможные сочетания: (1;2), (1;3), (3;2). 
РАЗМЕЩЕНИЯ - различные комбинации по k элементов, взятых из n элементов, отличающиеся друг от друга как элементами, так и порядком их расположения.
Количество размещений вычисляется по формуле 
Здесь порядок элементов важен.
ПРИМЕР Пусть А={1;2;3}. 
Возможные размещения (1;2), (1;3), (3;2), (2;1), (3;1), (2;3). 
Правило суммы
Если некоторый объект Х может быть выбран из совокупности объектов n способами, а объект Y может быть выбран из этой же совокупности k способами, то либо X либо Y могут быть выбраны n+k способами.
Правило произведения
Если некоторый объект X может быть выбран из совокупности объектов n способами, а объект Y может быть выбран из этой же совокупности k способами, то и X, и Y могут быть выбраны n·k способами.
Вероятность события
О.1. Совокупность условий - ОПЫТ=ИСПЫТАНИЕ.
О.2. Результат опыта - ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ИСХОД=СОБЫТИЕ (А)
О.3. Если в результате опыта событие обязательно произойдет, оно называется достоверным, если событие в данном опыте не может произойти, оно называется невозможным, а если может произойти или не произойти, оно называется случайным.
О.4. Возможность появления любого элементарного исхода испытания одинакова = все исходы равновозможны.
О.5. Если в результате испытания обязательно появится хотя бы одно из n событий, то эти n событий называют полной группой событий.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ
Пусть n - число всех равновозможных элементарных исходов некоторого опыта, образующих полную группу.
k - число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию A.
ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ 
.
СВОЙСТВА: 1. 0£P(A)£1 2. ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО СОБЫТИЯ РАВНА 0.
3. ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТОВЕРНОГО СОБЫТИЯ РАВНА 1.
Алгебра событий
Произведение событий
| О.1. Два события А и В называются НЕЗАВИСИМЫМИ, если вероятность одного из них не изменяется от появления или не появления другого. В противном случае события называются ЗАВИСИМЫМИ. |
| О.2. ПРОИЗВЕДЕНИЕМ двух событий А и В называется третье событие С=АВ, состоящее в совместном появлении этих событий (то есть в появлении и А и В). |
ТЕОРЕМЫУМНОЖЕНИЯ
Т.1. А и В независимы Þ 
.
Т.2. А и В зависимы Þ 
Сумма событий
О.3. Если в результате испытания два события не могут появиться одновременно Þ они называются НЕСОВМЕСТНЫМИ. Если появление одного события не исключает появление другого Þ события СОВМЕСТНЫ.
ТЕОРЕМЫСЛОЖЕНИЯ
Т.1. А и В несовместны Þ Р(А+В) = Р(А)+Р(В)
Т.2. А и В совместны Þ Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Т.3. если события Аi несовместны и образуют полную группу, то Р(А1+А2+А3+...+Ак)=1,.
Противоположные события
О.4. Два несовместных, образующих полную группу событий, называются противоположными.
ОБОЗНАЧЕНИЯ: А и 
- противоположные события. Если Р(А)=р, то 
p+q=1
О.5. Алгеброй событий называется произведение, или сумма, или сумма произведений разных событий.
Например, К=А+ВС+АВД+С+ВД
Пусть рассматриваются события А, В, С и D.
Событие Е - появление только одного из них 
Событие F появление только двух 
Событие G - появление только трех 
Событие Н - появление всех событий 
Событие К - появление хотя бы одного из них К=E+F+G+H
Событие 
- непоявление всех событий 
Вероятность появления хотя бы одного из нескольких независимых событий.
Если 
, 
, 
, 
,
Если q1=q2=q3=q4=q 
Замечание: Все результаты справедливы для любого количества событий
Формула полной вероятности
Если событие А может наступить только вместе или после одного из нескольких несовместных событий Н1, Н2,... Нк , образующих полную группу, то вероятность А вычисляется по следующей формуле:
СОБЫТИЕ А ЕЩЕ НЕ ПРОИЗОШЛО!
Формула Байеса
Если событие А, которое может наступить только вместе или после одного из нескольких несовместных событий Н1, Н2,... Нк , образующих полную группу, произошло, то вероятность каждой из гипотез вычисляется по формуле
ФОРМУЛЫПЕРЕСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГИПОТЕЗ
Повторение испытаний
Проводится серия из n испытаний. Вероятность появления события А в каждом испытании одинаковаи равна р. Вероятность того, что событие в серии из n испытаний появилось ровно k раз вычисляется по
ФОРМУЛЕ БЕРНУЛЛИ 
, n 
20, q = 1 - p
Если количество испытаний n достаточно велико, то вероятность появления события в этой серии испытаний ровно k раз вычисляется с помощью ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫМУАВРА-ЛАПЛАСА
, где 
,
где 
- локальная функция Лапласа. j(-x) = j(x), значения j(x) находят по Таблице.
Более k раз, не более k раз, менее k раз, не менее k раз, от k 1 до k2 раз вычисляется с помощью
ИНТЕГРАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫМУАВРА-ЛАПЛАСА
, где 
где 
- интегральная функция Лапласа
Ф(-x) = - Ф(х) значения Ф(х) находят по Таблице