Раздел1 «Линейные пространства».
1. Проверить, является ли данное множество линейным пространством:
1.1. Множество всех векторов, параллельных фиксированной плоскости.
1.2. Множество всех векторов, параллельных фиксированной прямой.
1.3. Множество геометрических векторов а̅ (x,y,z), координаты которых удовлетворяют условию х+y+z=0.
1.4. Множество всех матриц размера 2×3.
1.5. Множество невырожденных матриц третьего порядка.
1.6. Множество вырожденных матриц третьего порядка.
1.7. Множество многочленов степени не выше третьей.
1.8. Множество многочленов Р(t)=a0+a1t+a2t2 с положительными коэффициентами.
1.9. Множество расходящихся последовательностей.
1.10. Множество радиус-векторов, концы которых находятся на фиксированной прямой.
2. Доказать, что каждая из двух систем векторов образует базис и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:
e̅1 (1,2,1), e̅2 (2,3,3), e̅3 (3,7,1);
e̅1̍ (3,1,4), e̅2̍ (5,2,1), e̅3̍ (1,1,-6)
3. Векторы e̅1(1,1,1), e̅2(1,1,2), e̅3(1,2,3) и х̅(6,9,14) заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e̅1, e̅2, e̅3 образуют базис, и найти координаты вектора х̅ в этом базисе.
4. Доказать, что каждая из систем многочленов 1, х, х2 и 1-х, 2х-х2, -3х образует базис в пространстве многочленов степени не выше второй, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
5. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если
- поменять местами два вектора первого базиса?
- поменять местами два вектора второго базиса?
6. В пространстве геометрических векторов V3 дана система векторов
e̅1= 2i̅ + j̅ - 3k̅, e̅2= 3i̅ + 2j̅ - 5k̅, e̅3= i̅ - j̅ + k̅. Доказать, что данная система образует базис в V3, составить матрицу перехода от базиса i̅, j̅, k̅ к базису e̅1, e̅2, e̅3 и найти координаты вектора х̅=6 i̅ +2 j̅ - 7k̅ в базисе e̅1, e̅2, e̅3.
7. Дана матрица перехода от базиса e̅1, e̅2, e̅3 к базису e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍. Найти координаты векторов e̅1, e̅2, e̅3 в базисе e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍.
1 0 1
Т= 0 0 2
-1 3 0
8. Найти координаты многочлена t2-t+2 в базисе 1,t-1, (1-t)2.
9. Доказать, что если системы векторов
Е: e̅1, e̅2 ,…e̅n,
Е̍: e̅1̍, e̅2̍,…e̅n̍,
Е̍ ̍: e̅1̍ ̍, e̅2̍ ̍,…e̅n̍ ̍
образуют базисы в пространстве Vn, то справедливо матричное равенство: Т Е→ Е̍ ̍ =Т Е→ Е̍ Т Е̍→ Е̍ ̍.
10. Установить, является ли изоморфизмом данное отображение V3 на R3:
10.1. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (2x –y, z, x+y+z)
10.2. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y -1, 2z, 3y)
10.3. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y, -y+2z, x+2y-2z)
Ответы к разделу 1
1. 1.1 является. 1.2. является. 1.3. является. 1.4 является. 1.5. не является. 1.6.не является. 1.7. является. 1.8.не является. 1.9.не является 1.10 является, если прямая проходит через начало координат
2. х1=-27х1̍ - 71 х2̍̍- 41х3̍
х2=9х1̍ + 20 х2̍̍ + 9х3̍
х3=4х1̍ + 12 х2̍̍ + 8х3̍
3. х̅(1,2,3)
4. Матрица перехода
1 0 0
-1 2 -3
0 -1 0
5. Поменяются местами две строки; поменяются местами два столбца.
6. Ответ
7. Ответ
8. (2,1,1)
9. Указание: воспользоваться определением матрицы перехода.
10. 10.1. является
10.2. не является, так как нарушено условие линейности отображения.
10.3. не является, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения.
Раздел 2 «Линейные подпространства и линейные многообразия»
1. Проверить, являются ли заданные множества линейными подпространствами; указать какой-нибудь базис и размерность линейных подпространств:
1.1. Множество всех геометрических векторов из V3, компланарных фиксированной плоскости.
1.2. Множество геометрических векторов из V3, удовлетворяющих условию (͞х,͞а)=0, где͞ а-фиксированный вектор.
1.3. Множество всех геометрических векторов из V3, удовлетворяющих условию | ̅х̅ | =1.
1.4. Множество всех векторов из Rn вида: ̅х=(0, х2, 0, х4, х5,…хn)
1.5. Множество всех симметрических матриц порядка n.
1.6. Множество решений линейной однородной системы уравнений
x1+2x2 – x3+x4 - 3x5=0
x2 –4 x3+x5=0
1.7. Множество всех векторов из Rn, координаты которых удовлетворяют условию: х1=хn.
2. Найти размерность линейной оболочки L(x̅1, x̅2) арифметических векторов x̅1(1, 0, 2, -1), x̅2(0, -1, 2, 0). Показать, что вектор x̅(1, -1, 4, -1) принадлежит оболочке.
3. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅1(1, 0, 0, -1), x̅2(2, 1, 1, 0), x̅3(1, 1, 1, 1), x̅4(1, 2, 3, 4), x̅5(0, 1, 2, 3).
4. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅1(1, 1, 1, 1, 0), x̅2(1, 1, -1, -1, -1), x̅3(2, 2, 0, 0, -1), x̅4(1, 1, 5, 5, 2), x̅5(1, -1, -1, 0, 0).
5. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅1, x̅2) и L(y̅1, y̅2):
x̅1(1, 2, 1, 0), x̅2(-1, 1, 1, 1);
y̅1(2, -1, 0, 1), y̅2(1, -1, 3, 7)
6. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅1, x̅2, x̅3) и L(y̅1, y̅2):
x̅1 (1, 2, -1, -2), x̅2 (3, 1, 1, 1), x̅3 (-1, 0, 1, -1);
y̅1 (2, 5, -6, -5), y̅2 (-1, 2, -7, -3)
7. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки
L(а̄) и многообразия L(а̄) +b̅, если а̄= -2i̅ + j̅ - k̅, b̅= 2i̅ - j̅.
8. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки
L(а̄1, a̅2) и многообразия L(а̄1, a̅2) + b̅, если а̄1= -i̅ + j̅ + k̅, а̄2=2 j̅ - k̅ b̅= i̅ + k̅.
9. Задана система уравнений
x1+ x2 – 3x3 - x4 + x5=1
3x1- x2 + x3 + 4x4 + 3x5=4
x1- 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5=0.
Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве R5.Сдвигом какого подпространства получается это линейное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпространства. Найти какой-нибудь вектор сдвига.
Ответы к разделу 2
1. 1.2. является, dimL=1, 1.3.не является, 1.4. является, dimL=n-2, 1.5. является, dimL=n2 - Cn2, 1.6. является, dimL=3, 1.7.является, dimL=n-1
2. dimL=2.
3. dimL=2
4. dimL=3.
5. Размерность пересечения равна 1, базисный вектор имеет координаты z̅ (5, -2, -3, -4); размерность суммы равна 3, базис составлен, например, из векторов z̅, x̅1, y̅1.
6. Сумма совпадает с первым пространством, пересечение – со вторым.
7. Линейная оболочка – прямая, проходящая через точку (0, 0, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1), линейное многообразие - прямая, проходящая через точку (2,-1, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1)
8. Линейная оболочка – плоскость -3x – y - 2z =0, линейное многообразие – плоскость -3x – y - 2z + 5=0.
9. Множество решений неоднородной системы есть линейное многообразие, полученное из подпространства размерности 3 решений соответствующей однородной системы сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы.
10. Доказать, что пространство Rn есть прямая сумма двух линейных подпространств: L1, заданного уравнением х1+х2+…+хn=0 и L2, заданного системой уравнений х1=х2=…=хn.
11. Пусть линейное пространство L является прямой суммой линейных подпространств L1 и L2. Доказать, что размерность L равна сумме размерностей подпространств L1 и L2, причем любые базисы L1 и L2 дают вместе базис L.
12. Доказать, что сумма L линейных подпространств L1 и L2 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x̅, принадлежащий L, представляется в виде x̅= x̅1+ x̅2, где x̅1 принадлежит L1, x̅2 принадлежит L2.
Раздел3 «Евклидовы пространства»
1. Пусть͞ х(х1, х2), ȳ(y1, y2) - произвольные векторы арифметического пространства R2. Проверить, можно ли следующими способами определить скалярное произведение в R2:
1.1. (x̄,ȳ) = 2 х1 y1+ 5 х2 y2;
1.2. (x̄,ȳ) = х1 y1+ х1 y2+ х2 y1+ х2 y2.
Записать неравенство Коши – Буняковского в тех случаях, где это возможно.
2. Доказать, что в пространстве многочленов не выше n-1 степени скалярное произведение многочленов
p(t)=a0+a1t+…+an-1tn-1 и
q(t)=b0+b1t+…+bn-1tn-1
можно определить следующим способом:
(p,q)= a0b0+a1b1+…+an-1bn-1
Написать неравенство Коши – Буняковского, неравенства треугольника для этого пространства.
3. Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам: (1,1,1,1), (1,-1,-1,1), (2,1,1,3).
4. Проверить, что векторы следующей системы попарно ортогональны:
x̅1(1, 1, 1, 2), x̅2(1, 2, 3, -3)
5. Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы (1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2) и (1∕6, 1∕6, 1∕2, -5∕6).
6. Посредством процесса ортогонализации, найти ортогональный базис подпространства, натянутого на данные системы векторов:
6.1. x̅1(1,2,2,-1), x̅2(1,1,-5,3), x̅3(3,2,8,-7)
6.2. x̅1(1,1,-1,-2), x̅2(5,8,-2,-3), x̅3(3,9,3,8)
7. Проверить ортогональность следующей системы векторов и дополнить ее до ортогонального базиса:
x̅1(1,-2,1,3), x̅2(2,1,-3,1)
8. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x̅(4,-1,-3,4) на линейное подпространство L, натянутое на векторы ē1(1,1,1,1), ē2(1,2,2,-1), ē3(1,0,0,3).
9. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:
ē1(1,0,2,1), ē2(2,1,2,3), ē3(0,1,-2,1).
10. Доказать, что в действительном евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора x̅ и y̅ ортогональны тогда и только тогда, когда | x̅ - y̅ |2= | x̅ |2+ | y̅ |2.
Ответы к разделу 3
1. 1.1.можно, 1.2.нельзя
2. Ответ
3. (0, 1 ∕√2, -1 ∕√2, 0)
4.
5. За остальные два вектора можно взять, например, 1∕√26(0, -4, 3, 1) и 1∕√234(-13, 5, 6, 2).
6. 6.1. (1,2,2,-1), (2,3,-3,2), (2,-1, -1, -2), 6.2. (1,1,-1,-2), (2,5,1,3)
7. (-4,2,-1,3), (2,4,3,1)
8. Ортогональная проекция (1,-1,-1,5), ортогональная составляющая (3,0,-2,-1)
9. Базис ортогонального дополнения (2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)