Лекция 8
Краткое содержание: Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера.
Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. твердого тела.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки.
Вращением твердого тела вокруг неподвижной точки называют такое движение, при котором одна точка тела остается все время неподвижной.
Это движение часто называют сферическим движением твердого тела потому, что траектории всех точек тела при таком движении располагаются на поверхностях сфер.
Тело имеет три степени свободы, т.к. закрепление одной точки тела уменьшает число степеней свободы на три единицы (
).
Одной из главных задач при изучении вращения тела вокруг неподвижной точки является установление величин, характеризирующих это движение, т.е. углов Эйлера, угловой скорости, углового ускорения, и вывод формул для вычисления скоростей и ускорений точек тела.
Углы Эйлера
С неподвижной точкой О твердого тела свяжем две системы координат: одну неподвижную систему координат 
, другую систему координат 
жестко свяжем с телом, вращающимся вокруг точки О.
Положение подвижной системы координат относительно неподвижной будем определять тремя углами. Угол прецессии y (пси), угол нутации q (тета) и угол собственного вращения j (фи).
Линия пересечения подвижной плоскости 
с неподвижной 
называется линией узлов. Угол прецессии y определяет положение линии узлов на неподвижной плоскости . Для изменения этого угла тело должно вращаться вокруг оси 
, которую называют осью прецессии.
Угол нутации q - это угол между осями и 
. При изменении угла q происходит поворот тела вокруг линии узлов, которую также называют осью нутации.
Угол собственного вращения j - это угол между линией узлов и подвижной осью 
. При изменении угла j тело вращается вокруг оси (оси собственного вращения).
Для определения положения тела с одной неподвижной точкой в любой момент времени необходимо задать углы Эйлера как однозначные функции времени, т.е.
, 
, 
.
Эти уравнения называются уравнениями вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Тело, имеющее одну неподвижную точку, из одного положения в любое другое можно перевести одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку. Эту ось называют осью конечного вращения.
Ось, вокруг которой следует вращать тело, имеющее одну неподвижную точку, для перевода его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения (или мгновенной осью) для данного момента времени.
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ
ПРИ ВРАЩЕНИИ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Так как движение тела, имеющего одну неподвижную точку, в каждый момент времени можно считать вращением вокруг мгновенной оси, то в качестве величин, характеризующих это движение, можно ввести мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Очевидно, вводимая угловая скорость является векторной величиной, направленной в каждый момент времени по соответствующей мгновенной оси, и при использовании правой системы координат вектор угловой скорости 
направлен по мгновенной оси так, что с направления этого вектора видно вращение тела вокруг мгновенной оси против часовой стрелки. Модуль вектора угловой скорости можно выразить через элементарный угол поворота 
вокруг мгновенной оси за время 
:
Элементарный угол поворота , аналогично случаю вращения тела вокруг неподвижной оси, следует рассматривать как угол между двумя положениями в моменты 
и 
подвижной плоскости, скрепленной с телом и проходящей через мгновенную ось в момент времени .
Введенный таким образом вектор угловой скорости характеризует угловую скорость вращения вокруг мгновенной оси, направление мгновенной оси и направление вращения тела вокруг этой оси. Вектор угловой скорости можно прикладывать в любой точке мгновенной оси.
За вектор углового ускорения 
при вращении тела вокруг неподвижной точки принимают вектор, который характеризует изменение угловой скорости в данный момент как по числовой величине, так и по направлению. Известно, что такой характеристикой является производная по времени от вектора угловой скорости . Таким образом, угловое ускорение
Так как угловая скорость (может изменяться по модулю и направлению, то в общем случае угловое ускорение не направлено по мгновенной оси, а имеет направление как производная по времени от вектора параллельное касательной к годографу этого вектора. Условимся угловое ускорение изображать в любой точке прямой, параллельной этой касательной годографа , но проходящей через неподвижную точку тела.