Если траектория материальной точки задана, то задача описания движения этой точки сводится к указанию закона движения этой точки вдоль траектории. Некоторая точка траектории принимается за начальную, а положение любой другой определяется расстоянием s, измеренным вдоль траектории от начальной точки. В этом случае движение описывается зависимостью 
.
Рис. 1.5
|
Таким образом, в данном случае каждая точка характеризуется своим значением s, следовательно, ее радиус-вектор является функцией s и траектория может быть задана уравнением 
, и радиус-вектор можно рассматривать как сложную функцию времени
.
Тогда скорость материальной точки определится следующим образом:
.
Пусть материальная точка совершила перемещение 
, а 
– расстояние между двумя точками вдоль траектории, 
– расстояние между ними по прямой линии (рис.1.5). Ясно, что по мере сближения точек разница в этих величинах уменьшается. Тогда производная радиус-вектора по расстоянию определится следующим образом:
,
где 
– единичный вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке. И поскольку 
, то модуль скорости 
, следовательно,
,
то есть скорость направлена по касательной к траектории.
Вектор ускорения теперь можно записать следующим образом:
.
Выясним физический смысл производной 
. Единичный касательный вектор полностью определяется точкой траектории, которая в свою очередь однозначно характеризуется расстоянием s от точки, принятой за начальную. Поэтому 
, где s является функцией времени. Таким образом, 
и, следовательно,
.
Вектор 
перпендикулярен . Покажем это, для чего продифференцируем равенство 
, выражающее постоянство модуля вектора :
Рис. 1.6
|
.
Следовательно, вектор перпендикулярен 
. Поскольку вектор направлен по касательной к траектории в данной точке, вектор перпендикулярен этой касательной, то есть направлен по нормали к касательной.
Определим модуль вектора . Пусть за время 
единичный вектор повернулся на угол 
, тогда 
– приращение вектора за время (рис.1.6). Так как 
, а 
, то 
. Следовательно, производная 
определяет скорость поворота касательной при перемещении материальной точки вдоль плоской кривой и называется кривизной в данной точке кривой
.
Величина, обратная 
, называется радиусом кривизны в данной точке кривой
.
Радиус кривизны представляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Определим положение центра этой окружности.
Пусть материальная точка переместилась вдоль траектории из положения 1 в положение 1¢ (рис.1.7). Опустим перпендикуляры к единичным векторам и 
, они пересекутся в точке О ¢. Если точку 1 приближать к точке 1, точка О будет перемещаться вдоль прямой 
и в пределе окажется в некоторой точке О, которая называется центром кривизны для точки 1. Расстояния и 
будут при этом сближаться к общему пределу 
, равному радиусу кривизны в точке 1.
Рис. 1.7
|
Таким образом, вектор 
, где 
– единичный вектор, направленный в данной точке траектории по нормали к касательной. И следовательно, полное ускорение можно представить как сумму двух векторов, один из которых направлен по касательной в данной точке траектории и равен по модулю производной от модуля скорости по времени, а второй – направлен по нормали к касательной и по модулю равен 
, где – радиус кривизны в данной точке:
.
Рис. 1.8
|
Первое слагаемое называется тангенциальным ускорением и определяет быстроту изменения скорости по модулю. Второе слагаемое называется нормальным ускорением и определяет быстроту изменения вектора скорости по направлению.
Очевидно, что модуль полного ускорения может быть выражением
.
При движении точки по окружности нормальное ускорение часто называют центростремительным, поскольку центр кривизны траектории для всех ее точек в этом случае один и тот же и совпадает с центром окружности.