Такое тело называется свободным, а его движение свободным движением или движением по инерции. Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции. Свободных тел, строго говоря, не существует. Они являются физическими абстракциями. Однако можно поставить тело в такие условия, когда внешние воздействия на него по возможности устранены или практически компенсируют друг друга. Представив себе, что эти воздействия уменьшаются, мы и приходим в пределе к представлению о свободном теле и свободном движении.
Непосредственно проверить первый закон Ньютона невозможно, однако обобщение ряда экспериментальных фактов, а также совпадение вытекающих из закона следствий с опытными данными доказывают его справедливость. При движении тело тем дольше сохраняет свою скорость, чем слабее на него действуют другие тела; например, скользящий по поверхности камень тем дольше движется, чем ровнее эта поверхность, то есть чем меньше воздействие на него этой поверхности.
Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. В кинематике выбор системы отсчета не был существенным. Все системы отсчета кинематически эквивалентны. Не так обстоит дело в динамике. Уже закон инерции с особой остротой ставит вопрос о выборе системы отсчета. Если в какой-либо системе отсчета тело движется прямолинейно и равномерно, то в системе отсчета, движущейся относительно первой ускоренно, этого уже не будет. Отсюда следует, что закон инерции не может быть справедливым во всех системах отсчета. Без указания системы отсчета он просто теряет смысл. Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система отсчета называется инерциальной системой отсчета (ИСО). Содержание закона инерции в сущности сводится к утверждению, что существует по крайней мере одна инерциальная система отсчета. Это утверждение является обобщением громадной совокупности опытных фактов.
Точно так же, только опытным путем можно установить, какие системы отсчета являются инерциальными, а какие – неинерциальными. Допустим, например, что речь идет о движении звезд и других астрономических объектов в доступной нашему наблюдению части Вселенной. Тогда можно утверждать, что система отсчета, в которой Земля считается неподвижной (такую систему называют земной), не будет инерциальной.
Действительно, в такой системе звезды совершают суточные вращения на небесном своде. Так как расстояния до звезд очень велики, то при этом развиваются очень большие ускорения, направленные к Земле. Однако, каждая звезда, ввиду ее громадной удаленности от других небесных тел, практически является свободной. Таким образом, свободное движение звезд в земной системе отсчета совершается по окружности, а не по прямой линии. Оно не подчиняется закону инерции, а потому земная система отсчета не будет инерциальной.
Следовательно, для описания рассматриваемого движения надо проверить на инерциальность другую систему отсчета. Рассмотрим гелиоцентрическую систему отсчета, иначе называемую системой Коперника. Это система координат, начало которой помещено в центре масс Солнечной системы, а координатные оси являются прямыми, направленными на три удаленные звезды и не лежащие в одной плоскости. Материальными объектами, с помощью которых реализуются эти оси, являются световые лучи, приходящие от звезд в Солнечную систему. Благодаря относительному движению звезд, углы между координатными осями в системе Коперника не остаются постоянными, а медленно изменяются с течением времени. Однако ввиду колоссальности расстояния до звезд изменения направления координатных осей происходят настолько медленно, что, как правило, их можно не принимать во внимание. Система Коперника практически является инерциальной системой отсчета при изучении движений, происходящих в масштабе нашей планетной системы, а также всякой другой системы, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до тех трех звезд, которые в системе Коперника выбраны в качестве опорных. Это доказывается опытами.
Неинерциальность земной системы отсчета объясняется тем, что Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца, то есть движется ускоренно относительно системы Коперника. Впрочем, оба эти вращения происходят медленно. Поэтому по отношению к громадному кругу явлений земная система ведет себя практически как инерциальная система. 
Важной особенностью ИСО является то, что по отношению к ним пространство и время обладают определенными свойствами симметрии. А именно: опыт убеждает, что в этих системах отсчета пространство однородно и изотропно, а время однородно. Однородность пространства означает, что все точки пространства физически эквивалентны, то есть если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. Изотропность пространства означает, что если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на любой угол, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. Однородность времени заключается в том, что протекание физических явлений (в одних и тех же условиях) в разное время их наблюдения одинаково. Иначе говоря, различные моменты времени эквивалентны друг другу по своим физическим свойствам.
Заметим, что по отношению к неинерциальным системам отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то тем не менее его различные положения в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении неэквивалентны. То же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет неоднородным в неинерциальных системах отсчета, то есть его различные моменты неэквивалентны. Ясно, что такие свойства пространства и времени вносили бы большие усложнения в описание механических явлений. Так, например, тело, неподверженное воздействию со стороны других тел, не могло бы покоиться: если его скорость в некоторый момент времени равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в определенном направлении.
В ИСО законы механики имеют наиболее простой вид, и, следовательно, они наиболее удобны для описания механических явлений. Обычные, сравнительно грубые наблюдения и опыты над движением тел не позволяют обнаружить отступления от инерциальности земной системы отсчета. Вот почему изучение основных законов динамики можно начать с изучения движения тел относительно Земли, отвлекаясь от ее вращения, то есть принять Землю за приблизительно ИСО.
Сила. Масса тела
Опыт показывает, что причиной ускорения тела является воздействие на него других тел или полей. Для количественной характеристики интенсивности этого взаимодействия Ньютон ввёл понятие силы. Силы могут вызывать не только изменение скорости материальных тел, но и их деформацию. Поэтому понятию силы можно дать следующее определение.
Сила – количественная мера взаимодействия по крайней мере двух тел, вызывающая движение тела или изменение его формы, или и то и другое вместе. Примером деформации тела под действием силы является сжатая или растянутая пружина. Её легко использовать в качестве эталона силы: в качестве единицы силы берётся упругая сила, действующая в пружине, растянутой или сжатой в определённой степени. Пользуясь таким эталоном, можно сравнивать силы и изучать их свойства:
– Сила есть вектор. Силы, приложенные к одному телу, складываются по правилу параллелограмма.
– Сила является причиной ускорения. Направление вектора ускорения параллельно вектору силы.
– Сила имеет материальное происхождение. Нет материальных тел, нет сил.
– Действие силы не зависит от того, находится тело в состоянии покоя или движется.
– При одновременном действии нескольких сил тело получает такое ускорение, какое бы оно получило под действием результирующей силы 
. Это утверждение составляет содержание принципа суперпозиции сил.
В основе принципа суперпозиции лежит представление о независимости действия сил. Силы действуют независимо, если каждая сила 
сообщает рассматриваемому телу одно и то же ускорение, независимо от того действует ли только i -й источник сил или все 
источников одновременно. Сила, с которой одна частица действует на другую, зависит от радиус-векторов и скоростей только этих двух частиц. Присутствие других частиц на эту силу не влияет. Это свойство называется законом независимости действия сил или законом парного взаимодействия. Область применимости этого закона охватывает всю классическую механику.
Как показывает опыт, для данного тела отношение каждой силы, действующей на него, к сообщаемому этой силой ускорению является величиной постоянной 
. Это отношение зависит от свойств ускоряемого тела и называется его инертной массой. Чем больше масса, тем большая сила требуется для сообщения телу определённого ускорения. Тело как бы сопротивляется попытке изменить его скорость, “стремится” сохранить своё состояние. Это свойство называется инертностью, а масса является мерой инертности.
Отношение 
справедливо только при достаточно малых скоростях. При увеличении скорости это отношение изменяется, возрастая со скоростью.
Второй закон Ньютона
При малых скоростях можно считать массу постоянной. Тогда соотношение 
, записанное в векторной форме 
, представляет второй закон Ньютона. Однако полезно это уравнение переписать в другом виде 
или ещё в более общей форме 
. Произведение массы на скорость 
называется импульсом. И, окончательно, получим
. (2.1)
Представленный в такой форме второй закон Ньютона содержит новую физическую величину – импульс. При очень больших скоростях (при скоростях, близких к скорости света в вакууме) импульс становится основной величиной, измеряемой в экспериментах. Поэтому уравнение (2.1) является обобщением уравнения движения на релятивистские (то есть близкие к скорости света в вакууме) скорости.
Из уравнения (2.1) следует, что 
, то есть бесконечно малое изменение импульса за бесконечно малый промежуток времени 
равно произведению 
, называемому импульсом силы. Чем больше импульс силы, тем больше изменение импульса.
Роль начальных условий
Векторное уравнение движения материальной точки можно записать в координатной форме:
, 
, 
,
Здесь использовано обозначение 
Эти три скалярных уравнения, эквивалентные одному векторному уравнению, являются дифференциальными, и потому их недостаточно для однозначного описания движения материальной точки. Каждое из этих уравнений – дифференциальное уравнение второго порядка. По этой причине для однозначного описания движения точки к уравнениям движения надо присоединить дополнительные данные, определяющие значения шести числовых постоянных. В качестве таковых обычно берут значения pадиус-вектора и скорости или каких-либо двух их функций в момент времени 
. Эти значения называются начальными условиями.
Выясним этот вопрос на примере движения материальной точки в поле силы тяжести Земли. Пренебрегая зависимостью ускорения свободного падения от высоты над земной поверхностью и широты местности, можно записать, что сила, действующая на тело в поле тяжести Земли 
, а потому уравнение движения переходит в уравнение вида
.
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
, 
.
Этим уравнениям удовлетворяют следующие решения:
, 
(2.2)
при произвольных значениях постоянных векторов 
и 
.
Решение (2.2) является общим. Общее решение – это целое семейство решений, зависящих от двух произвольных векторных постоянных и . Придавая этим постоянным какие-либо конкретные значения, можно выделить из этого семейства частное решение. Постоянная – начальная скорость движущейся точки, – ее радиус-вектор в начальный момент времени. Величины и называются начальными условиями. В зависимости от начальных условий движения могут сильно отличаться друг от друга: тело может двигаться вверх или вниз по прямой линии, может описывать параболу, достигая или не достигая ее вершины. Получается довольно разнообразный класс движений. Заслуга Ньютона и состоит в том, что он показал, что все многообразие движений может быть описано единой формулой, не содержащей никаких произвольных постоянных, если от положений и скоростей материальной точки перейти к ее ускорению. Таким образом, любое движение материальной точки в классической механике можно описать уравнением движения
.
Но если 
, то 
– постоянная величина, отсюда следует. что 
– постоянная, то есть импульс, а с ним и скорость свободно движущейся материальной точки постоянны, то есть для свободной частицы первый закон Ньютона является просто законом сохранения ее импульса. Таким образом, формально первый закон Ньютона является следствием второго закона. Почему же тогда он выделяется в самостоятельный закон? Дело в том, что уравнение, выражающее второй закон Ньютона, только тогда имеет смысл, когда указана система отсчета, в которой оно справедливо. Выделить же такую систему отсчета позволяет первый закон Ньютона. Он утверждает, что существует система отсчета, в которой свободная материальная точка движется без ускорения. В такой системе отсчета движение всякой материальной точки подчиняется уравнению движения Ньютона. То есть, по существу, первый закон нельзя рассматривать как простое логическое следствие второго. Связь между этими законами более глубокая.
Третий закон Ньютона.
Третий закон Ньютона формулируется следующим образом: Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки:
.
Одну из сил 
или 
, согласно Ньютону, иногда называют действием, а другую – противодействием и формулируют третий закон следующим образом. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие Однако, “действие” по своей природе ничем не отличается от “противодействия”. Так, тяжелое тело, лежащее на столе, давит на стол, испытывая со стороны стола противоположно направленное противодействие. Действие – давление камня на стол – обусловлено деформацией камня, противодействие – давление стола на камень – обусловлено деформацией стола. В основе подразделения сил на “действующие” и “противодействующие” лежит представление об активных телах, производящих действие, и пассивных телах, оказывающих противодействие. Однако подразделение тел на активные и пассивные можно провести далеко не всегда. Например, когда Солнце и планета притягиваются друг к другу силами всемирного тяготения, то в этом взаимодействии они выступают совершенно равноправно и нельзя указать, какое из взаимодействующих тел является активным, а какое – пассивным. Какую из сил или назвать действием и какую – противодействием – это в большинстве случаев вопрос соглашения.
В основу третьего закона Ньютона положено ньютоновское допущение о мгновенном распространении взаимодействия, которое носит название принципа дальнодействия в классической механике. Согласно этому принципу, взаимодействие между телами распространяется в пространстве с бесконечно большой скоростью. Иначе говоря, если изменить состояние одного тела, то сразу же можно обнаружить хотя бы очень слабое изменение во взаимодействующих с ним телах, как бы далеко они не находились.
Рис. 2.1
|
Сейчас мы знаем, что в действительности это не так – существует конечная максимальная скорость распространения взаимодействий, которая равна скорости света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона (а также и второй) имеют определенные границы применимости.
Пусть две материальные точки находятся в положениях А и В. Допустим, что силы их взаимодействия в этих положениях подчиняются третьему закону Ньютона. Если первая точка перейдет в новое положение А1настолько быстро, что за время перехода взаимодействие не успеет распространится до точки В, то сила 
при этом не изменится. Она будет определяться не новым, а старым расположением материальных точек, то есть будет направлена вдоль прямой ВА, а не вдоль прямой ВА1, как должно было бы быть по третьему закону Ньютона.
Современная физика не признает непосредственного действия на расстоянии. Согласно современным представлениям, все взаимодействия передаются полями – гравитационным, электромагнитным и другими. С этой точки зрения взаимодействие между точками А и В можно рассматривать следующим образом: тело А возбуждает в окружающем пространстве силовое поле, которое в месте нахождения тела В проявляется в виде действующих на него сил. В свою очередь тело В возбуждает аналогичное силовое поле, действующее на тело А.
Взаимодействие при непосредственном соприкосновении тел является частным случаем взаимодействия через поле и осуществляется молекулярными полями. Молекулярные поля быстро убывают с расстоянием и проявляются, когда расстояния между взаимодействующими телами не превышают 10–7см. Вот почему такие взаимодействия макроскопически воспринимаются как взаимодействия прикосновением.
2.6. Принцип относительности Галилея.
Преобразования Галилея
В 1632 году в книге “Диалог о двух главнейших системах мира: Птолемеевой и Коперниковой” Галилей ввел принцип относительности, ставший одним из первых основных принципов физики. Согласно этому принципу, все ИСО по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это значит, что никакими механическими опытами, проводимыми внутри данной ИСО, нельзя установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно.
Этот принцип является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием приложений Ньютоновской механики к движению тел, скорости которых значительно меньше скорости света. Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств ИСО. В силу чего именно эти системы должны, как правило, использоваться для изучения механических явлений.
Рис. 2.2
|
Найдем формулы преобразования координат при переходе от одной ИСО к другой. Допустим, что система отсчета S инерциальна. Рассмотрим вторую систему отсчета S', движущуюся относительно первой поступательно с постоянной скоростью 
. Пусть известно движение точки в одной из этих систем, например в системе S. Как найти движение той же точки в системе S'? В нерелятивистской механике задача сводится к нахождению формул, выражающих координаты движущейся точки в системе S' через ее координаты в системе S в один и тот же момент времени. Начало координат и направление координатных осей можно выбрать произвольно как в системе отсчета S, так и в системе отсчета S'. Если системы координат, связанные с телом отсчета, неподвижны друг относительно друга и отличаются одна от другой только положением начал и направлением координатных осей, то преобразование координат представляет геометрическую задачу. Ее решение известно из аналитической геометрии. Необходимо выяснить, что нового вносит в вопрос о преобразовании координат движение одной системы отсчета относительно другой. Для простоты можно принять, что координатные оси 
системы S соответственно параллельны координатным осям 
системы S' и что в начальный момент начало системы координат S совпадает с началом системы координат S'. Кроме того, предположим, что скорость движения системы отсчета S' параллельна оси 
. При этих условиях ось 
будет все время совпадать с осью . Такие упрощения в постановке задачи не мешают ее общности, поскольку переход к общим формулам может быть совершен дополнительным переносом начала координат и поворотом координатных осей.
Пусть в момент времени t движущаяся точка находится в положении M (рис. 2.2). За время t начало координат S' переходит из точки О в положение 
, причем, так как 
то
, (2.3)
где 
и 
– радиус-векторы движущейся точки соответственно в системе S и 
.
Запишем соотношения (2.3) в проекциях на оси координат:
(2.4)
Формулы обратного преобразования имеют вид
или в координатной форме
(2.5)
Формулы (2.4) и (2.5) и дают решение поставленной задачи. Они называются преобразованиями Галилея. Мы присоединили к формулам преобразования координат дополнительное выражение 
, чтобы явно отметить, что в нерелятивистской кинематике время считается абсолютным и потому не преобразуется.
С точки зрения “здравого смысла” преобразования Галилея кажутся очевидными. Однако в основе вывода лежит предположение нерелятивистской кинематики об абсолютности длин и промежутков времени. Абсолютность времени явно отмечена в уравнении , при выводе остальных формул использовалось предположение об абсолютности длин. Действительно, формулы (2.3–2.5) были бы очевидными, если бы и измерялись в одной системе отсчета. Мы же измеряем их в разных системах отсчета. По этой причине без предположения об абсолютности расстояний и промежутков времени нельзя обойтись. Релятивистская физика отказалась от такой абсолютности.
Чтобы получить формулы сложения скоростей в нерелятивистской механике, продифференцируем (2.3) по времени:
,
или
, (2.6)
где – скорость точки в системе S, а 
– в системе 
. Эта формула выражает нерелятивистский закон сложения скоростей.
Дифференцируя второй раз, получим
, (2.7)
где 
– ускорение точки в системе S, 
– в системе . То есть ускорение в обеих системах одинаково. Следовательно, ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.
По определению ИСО свободная материальная точка движется в системе S без ускорения. Формула (2.7) показывает, что движение данной материальной точки в системе также будет неускоренным. Следовательно, – также инерциальная система отсчета. Таким образом, система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно, также является инерциальной системой. Если существует хотя бы одна ИСО, то существует и бесконечное множество ИСО, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно.
Сила является функцией только инвариантных величин: разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих точек. Поэтому она не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой, иначе говоря, сила инвариантна относительно преобразований Галилея. Отсюда следует, что уравнение, выражающее второй закон Ньютона, остается неизменным при переходе от одной системы отсчета к другой. Такие уравнения называются инвариантными. Таким образом, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это утверждение и составляет содержание принципа относительности Галилея.
Равноправие ИСО дает возможность в каждом конкретном случае подбирать систему координат, наиболее удобную для решения рассматриваемой задачи.
Итак, принцип относительности Галилея выражает полное равноправие всех ИСО. Однако значит ли это, что одно и то же движение выглядит одинаково во всех ИСО? Движение тела, упавшего с полки равномерно движущегося вагона, является прямолинейным, если его рассматривать относительно вагона. Но то же самое движение происходит по параболе в системе отсчета, связанной с полотном железной дороги, хотя законы механики Ньютона одинаковы в обеих системах отсчета. Движения выглядят по-разному, так как законы Ньютона выражаются дифференциальными уравнениями, а таких уравнений недостаточно, чтобы полностью определить движение в каждом конкретном случае. Для этого нужно к дифференциальным уравнениям присоединить начальные условия: задать начальное положение тела и его начальную скорость. Приведенный пример и является иллюстрацией к важной роли для описания характера движения начальных условий. Хотя сам закон движения, именно потому, что записан в дифференциальной форме, является инвариантом.