Концептуальные идеи квантовой механики

Глава 4. Квантовая теория

Физические исследования конца XIX — начала XX в выявили исключительное своеобразие законов, управляющих поведением микрообъектов — атомов, электронов и других частиц с весьма малыми характеристическими размерами. На основе этих иссле­дований была создана фундаментальная физическая теория, получившая название квантовой. Квантовая теория описывает свойства материи на уровне микроявлений, рассматривает законы движения микрообъектов. Это дает возможность выявить законо­мерности Природы на более глубоком, более фундаментальном уровне, и, следовательно, объяснить целый ряд явлений, необъяс­нимых с позиций классической физики. Квантовая теория послу­жила базой для развития современного естествознания в целом, ее разработка явилась величайшей революцией в познании Природы. В основе квантовой теории лежат фундаментальные идеи о квантовании физических величин и корпускулярно­-волновом дуализме.

Концептуальные идеи квантовой механики

Квантование физических величин. Сущность этой идеи состоит в том, что физические величины, характеризующие микрообъек­ты могут при соответствующих условиях принимать только впол­не определенные, дискретные значения. Исторически идея кван­тования сформировалась в конце XIX - начале XX в. на базе следующих фактов и гипотез.

1. Линейчатость спектров излучения свободных атомов.

Спектроскопические исследования показали, что для каждого химического элемента спектры излучения атомов являются ли­нейчатыми. Это означает, что излучаемые электромагнитные вол­ны (свет) имеют для каждого вида атомов определенные, диск­ретные значения частот. Например, атомарный водород дает излучение в видимой части спектра на частотах v _n, определяемых соотношением

где с - скорость света в вакууме; R - постоянный коэффициент (постоянная Ридберга); n - целые числа 3, 4, 5, ….

2. Гипотеза о квантованности энергии электромагнитного излучения.

Анализируя характер теплового излучения, т. е. излучения энергии нагретыми телами, М. Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу о том, что атомы излучают энергию не непрерывно, а порциями (квантами), причем энергия одного кванта связана с частотой v (или ω) излучения формулой

где h - фундаментальная постоянная (постоянная Планка) ().

А. Эйнштейн, исследуя проблемы фотоэффекта, в 1905 г., распространил идею квантования также и на поглощение излучения. Напомним, что внешний фото­эффект состоит в вырывании электронов с поверхности ме­талла под действием света. Схе­ма фотоэлемента показана на рис. 4.1. Согласно Эйнштейну, при облучении вещества светом электроны вещества поглощают экер гаю света порциями. Фото­эффект наблюдается, если пор­ция энергии hv больше наи­меньшей энергии, которую надо сообщить электрону, чтобы он покинул вещество (эта энергия называется работой выхода А для данного вещества).

Рис. 4.1.

Кинетическая энергия электрона, поглотившего квант света, будет

Т = hv - А. (4.2)

Отсюда просто объяснялось наличие так называемой «красной» границы фотоэффекта - минимальной частоты v _min, при которой фотоэффект еще существует. v _min находится из (4.2) при Т = 0.

В 1916 г. Эйнштейн ввел понятие «световых квантов» - фото­нов. Экспериментальное подтверждение существования фотонов было получено в 1933 г. Комптоном. Эффект Комптона состоит в увеличении длины волны высокочастотного электромагнитного излучения при его рассеивании на свободном (или слабо связан­ном с атомом) электроне. Эф­фект Комптона рассматривает­ся как результат упругого стол­кновения фотона с электроном, в котором фотон не полностью поглощается электроном (как в фотоэффекте), а отдает ему лишь часть энергии (рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Здесь - соответственно, энергии налетающего фотона, рассеянного фотона и электрона до и после соударения; - импульсы этих частиц; v и - частоты, соответ­ствующие налетающему и рассеянному фотонам.

Согласно закону сохранения энергии закону сохранения импульса . Подставив в эти уравнения выражения для Е и р. в соответствии с рисунком получим:

Здесь - масса электрона отдачи.

Решая систему уравнений (4.3), получим выражение для комптоновского увеличения длины волны, соответствующей рассеянному фотону:

В фотоэффекте и эффекте Комптона проявляется способность фотонов передавать свою энергию электронам.

Существует и обратный фотоэффект, когда кинетическая энер­гия движущегося электрона превращается в энергию фотона. Этот эффект называется рентгеновским излучением (В. Рентген, 1895). Оно возникает при соударении быстрых электронов с ве­ществом (рис. 4.3

Рис. 4.2.

Рентгеновское излучение высокочастотное, кванты его обла­дают значительной энергией и, следовательно, высокой прони­кающей способностью.

3. Модель атома водорода по Бору

Н. Бор (1913 г.) предложил в форме постулатов теорию атома водорода, объединяющую модель атома Резерфорда, идею кван­тования энергии Планка-Эйнштейна и объясняющую линейчатость спектров излучения свободных атомов. По этой теории электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите. Существуют орбиты, соответ­ствующие стационарным состояниям. Находясь в этих состояниях атом не излучает (рис. 4.4). Энергия ста­ционарных состояний образует диск­ретный спектр:

Рис. 4.4.

При переходе из одного стацио­нарного состояния в другое атом излучает (или поглощает) энер­гию. Например, при переходе из состояния с энергией Е ₄ в сос­тояние с меньшей энергией Е ₃ выделяется энергия ε= Е ₄– Е ₃, т. е. испускается квант излучения. Частота этого излучения опре­деляется в соответствии с формулой (4.1) как v = ε/h..

Радиус r _n круговой орбиты, соответствующей n-му стационар­ному состоянию атома водорода, Бор вычислял из двух условий: второго закона Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновских сил притяжения ядра

(здесь m, е — соответственно, масса и заряд электрона, ν _n - скорость его движения) и постулированного условия кванто­вания момента импульса электрона:

Отсюда

Энергия Е _n стационарного состояния складывается из кинетической

и потенциальной

В итоге

Знак «- » означает, что электрон находится в связанном состо­янии (за нуль принимается энергия свободного электрона). Целое число и, входящее в вышеприведенные выражения, определяет энергию дискретных стационарных состояний. Энергия основ­ного состояния z (при n = 1) получила специальное обозначение Ry (ридберг). Ну ≈ 13,6 эВ определяет масштаб энергетической шкалы атома.

Корпускулярно-волновой дуализм. Сущность этой идеи состоит в том, что на уровне микроявлений стирается четкое разграниче­ние между двумя видами движения - корпускулярным и волно­вым. Напомним, что для корпускулярного движения характерны локализация объекта в пространстве и наличие определенной траектории (пример - полет снаряда), а волновое движение есть, напротив, движение среды в целом, для которого неприменимо понятие траектории.

Микрообъект же в зависимости от условий, в которых он рас­сматривается, ведет себя либо как корпускула (частица), либо как волна. Диалектическое объединение противоположных видов дви­жения в рамках единого микрообъекта называют корпускулярно­-волновым дуализмом (двойственностью). Идея дуализма впервые была выдвинута в 1917 г. Эйнштейном в отношении электромаг­нитных волн (света). Действительно, в ряде явлений (интерфе­ренция, дифракция) свет проявляет типично волновые свойства, а в других случаях (фотоэффект, эффект Комптона) - ведет себя как поток частиц.

Напомним, что уравнение плоской монохроматической свето­вой волны, распространяющейся в вакууме в направлении оси X имеет вид (2.22)

где Е _m — амплитуда; ω, v — соответственно, круговая и цикличес­кая частоты; λ - длина волны; k - волновое число.

Таким образом, волне, имеющей частоту v (длину волны λ) и волновой вектор k, оказалось возможным сопоставить поток фотонов, каждый из которых имеет энергию Е и импульс .

Между волновыми и корпускулярными характеристиками име­ется связь:

В 1924 г. де Бройль распространил идею дуализма на любые микрообъекты, предложив с каждым таким объектом связывать, с одной стороны, корпускулярные характеристики (энергию Е и импульс ), а с другой стороны - волновые характеристики (частоту v и длину волны λ). Связь между этими характеристи­ками выражается теми же соотношениями (4.7). В своих рассуж­дениях де Бройль использовал то обстоятельство, что движение вещества и света в пространстве подчиняется, соответственно, принципу наименьшего действия Мопертюи и принципу наименьшего времени Ферма, что свидетельствует о родственности природы вещества и излучения. Гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена обнаружением интерференции электронов (опыт Девиссона-Джермера) и дифракции электронов (опыты Тартаковского, Томсона, Фабриканта).