Глава 4. Квантовая теория
Физические исследования конца XIX — начала XX в выявили исключительное своеобразие законов, управляющих поведением микрообъектов — атомов, электронов и других частиц с весьма малыми характеристическими размерами. На основе этих исследований была создана фундаментальная физическая теория, получившая название квантовой. Квантовая теория описывает свойства материи на уровне микроявлений, рассматривает законы движения микрообъектов. Это дает возможность выявить закономерности Природы на более глубоком, более фундаментальном уровне, и, следовательно, объяснить целый ряд явлений, необъяснимых с позиций классической физики. Квантовая теория послужила базой для развития современного естествознания в целом, ее разработка явилась величайшей революцией в познании Природы. В основе квантовой теории лежат фундаментальные идеи о квантовании физических величин и корпускулярно-волновом дуализме.
Концептуальные идеи квантовой механики
Квантование физических величин. Сущность этой идеи состоит в том, что физические величины, характеризующие микрообъекты могут при соответствующих условиях принимать только вполне определенные, дискретные значения. Исторически идея квантования сформировалась в конце XIX - начале XX в. на базе следующих фактов и гипотез.
1. Линейчатость спектров излучения свободных атомов.
Спектроскопические исследования показали, что для каждого химического элемента спектры излучения атомов являются линейчатыми. Это означает, что излучаемые электромагнитные волны (свет) имеют для каждого вида атомов определенные, дискретные значения частот. Например, атомарный водород дает излучение в видимой части спектра на частотах v n, определяемых соотношением
где с - скорость света в вакууме; R - постоянный коэффициент (постоянная Ридберга); n - целые числа 3, 4, 5, ….
2. Гипотеза о квантованности энергии электромагнитного излучения.
Анализируя характер теплового излучения, т. е. излучения энергии нагретыми телами, М. Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу о том, что атомы излучают энергию не непрерывно, а порциями (квантами), причем энергия одного кванта связана с частотой v (или ω) излучения формулой
где h - фундаментальная постоянная (постоянная Планка) ().
А. Эйнштейн, исследуя проблемы фотоэффекта, в 1905 г., распространил идею квантования также и на поглощение излучения. Напомним, что внешний фотоэффект состоит в вырывании электронов с поверхности металла под действием света. Схема фотоэлемента показана на рис. 4.1. Согласно Эйнштейну, при облучении вещества светом электроны вещества поглощают экер гаю света порциями. Фотоэффект наблюдается, если порция энергии hv больше наименьшей энергии, которую надо сообщить электрону, чтобы он покинул вещество (эта энергия называется работой выхода А для данного вещества).
Рис. 4.1.
Кинетическая энергия электрона, поглотившего квант света, будет
Т = hv - А. (4.2)
Отсюда просто объяснялось наличие так называемой «красной» границы фотоэффекта - минимальной частоты v min, при которой фотоэффект еще существует. v min находится из (4.2) при Т = 0.
В 1916 г. Эйнштейн ввел понятие «световых квантов» - фотонов. Экспериментальное подтверждение существования фотонов было получено в 1933 г. Комптоном. Эффект Комптона состоит в увеличении длины волны высокочастотного электромагнитного излучения при его рассеивании на свободном (или слабо связанном с атомом) электроне. Эффект Комптона рассматривается как результат упругого столкновения фотона с электроном, в котором фотон не полностью поглощается электроном (как в фотоэффекте), а отдает ему лишь часть энергии (рис. 4.2).
Рис. 4.2.
Здесь - соответственно, энергии налетающего фотона, рассеянного фотона и электрона до и после соударения; - импульсы этих частиц; v и - частоты, соответствующие налетающему и рассеянному фотонам.
Согласно закону сохранения энергии закону сохранения импульса . Подставив в эти уравнения выражения для Е и р. в соответствии с рисунком получим:
Здесь - масса электрона отдачи.
Решая систему уравнений (4.3), получим выражение для комптоновского увеличения длины волны, соответствующей рассеянному фотону:
В фотоэффекте и эффекте Комптона проявляется способность фотонов передавать свою энергию электронам.
Существует и обратный фотоэффект, когда кинетическая энергия движущегося электрона превращается в энергию фотона. Этот эффект называется рентгеновским излучением (В. Рентген, 1895). Оно возникает при соударении быстрых электронов с веществом (рис. 4.3
Рис. 4.2.
Рентгеновское излучение высокочастотное, кванты его обладают значительной энергией и, следовательно, высокой проникающей способностью.
3. Модель атома водорода по Бору
Н. Бор (1913 г.) предложил в форме постулатов теорию атома водорода, объединяющую модель атома Резерфорда, идею квантования энергии Планка-Эйнштейна и объясняющую линейчатость спектров излучения свободных атомов. По этой теории электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите. Существуют орбиты, соответствующие стационарным состояниям. Находясь в этих состояниях атом не излучает (рис. 4.4). Энергия стационарных состояний образует дискретный спектр:
Рис. 4.4.
При переходе из одного стационарного состояния в другое атом излучает (или поглощает) энергию. Например, при переходе из состояния с энергией Е 4 в состояние с меньшей энергией Е 3 выделяется энергия ε= Е 4– Е 3, т. е. испускается квант излучения. Частота этого излучения определяется в соответствии с формулой (4.1) как v = ε/h..
Радиус r n круговой орбиты, соответствующей n-му стационарному состоянию атома водорода, Бор вычислял из двух условий: второго закона Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновских сил притяжения ядра
(здесь m, е — соответственно, масса и заряд электрона, ν n - скорость его движения) и постулированного условия квантования момента импульса электрона:
Отсюда
Энергия Е n стационарного состояния складывается из кинетической
и потенциальной
В итоге
Знак «- » означает, что электрон находится в связанном состоянии (за нуль принимается энергия свободного электрона). Целое число и, входящее в вышеприведенные выражения, определяет энергию дискретных стационарных состояний. Энергия основного состояния z (при n = 1) получила специальное обозначение Ry (ридберг). Ну ≈ 13,6 эВ определяет масштаб энергетической шкалы атома.
Корпускулярно-волновой дуализм. Сущность этой идеи состоит в том, что на уровне микроявлений стирается четкое разграничение между двумя видами движения - корпускулярным и волновым. Напомним, что для корпускулярного движения характерны локализация объекта в пространстве и наличие определенной траектории (пример - полет снаряда), а волновое движение есть, напротив, движение среды в целом, для которого неприменимо понятие траектории.
Микрообъект же в зависимости от условий, в которых он рассматривается, ведет себя либо как корпускула (частица), либо как волна. Диалектическое объединение противоположных видов движения в рамках единого микрообъекта называют корпускулярно-волновым дуализмом (двойственностью). Идея дуализма впервые была выдвинута в 1917 г. Эйнштейном в отношении электромагнитных волн (света). Действительно, в ряде явлений (интерференция, дифракция) свет проявляет типично волновые свойства, а в других случаях (фотоэффект, эффект Комптона) - ведет себя как поток частиц.
Напомним, что уравнение плоской монохроматической световой волны, распространяющейся в вакууме в направлении оси X имеет вид (2.22)
где Е m — амплитуда; ω, v — соответственно, круговая и циклическая частоты; λ - длина волны; k - волновое число.
Таким образом, волне, имеющей частоту v (длину волны λ) и волновой вектор k, оказалось возможным сопоставить поток фотонов, каждый из которых имеет энергию Е и импульс .
Между волновыми и корпускулярными характеристиками имеется связь:
В 1924 г. де Бройль распространил идею дуализма на любые микрообъекты, предложив с каждым таким объектом связывать, с одной стороны, корпускулярные характеристики (энергию Е и импульс ), а с другой стороны - волновые характеристики (частоту v и длину волны λ). Связь между этими характеристиками выражается теми же соотношениями (4.7). В своих рассуждениях де Бройль использовал то обстоятельство, что движение вещества и света в пространстве подчиняется, соответственно, принципу наименьшего действия Мопертюи и принципу наименьшего времени Ферма, что свидетельствует о родственности природы вещества и излучения. Гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена обнаружением интерференции электронов (опыт Девиссона-Джермера) и дифракции электронов (опыты Тартаковского, Томсона, Фабриканта).