Задачи для самостоятельного решения

ЗАНЯТИЕ 1.

Тема 1: Решение систем линейных уравнений.

Задача 1. Решить систему линейных уравнений :

Решение. Шаг 1. Создание шаблона решения задачи. В шаблоне блок ячеек A4:D4 отводится под искомые неизвестные, блок A8:D11 содержит элементы матрицы A системы – коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы, блок E8:E11 содержит формулы, вычисляющие левые части уравнений, блок F8:F11 содержит значения правых частей уравнений:

Рис.1. Шаблон решения задачи 1

Шаг 2. Решение задачи. Командами Сервис, Поиск решения вызываем главное диалоговое окно надстройки Поиск решения и делаем постановку задачи. Поле «Установить целевую ячейку» оставляем пустым. В поле Изменяя ячейки протяжкой мыши заносим адрес блока ячеек А4:D4, отведенных под искомые . С помощью команды Добавить в окне Добавление ограничений вводим основное ограничение: E8:E11= F8:F11, что означает равенство левой и правой частей системы уравнений:

Рис. 2. Главное диалоговое окно надстройки Поиск решения

Щелкнув по кнопке Параметры, в открывшемся окне Параметры поиска решений щелчком ставим галочку в поле Линейная модель:

Подтверждаем установки параметров щелчком по OK, возвращаясь в главное диалоговое окно. Шаблон создан.

Щелкаем мышью по клавише Выполнить. Запускается алгоритм решения задачи. После завершения работы алгоритма Поиск решения дает сообщение о результатах.

В случае, когда исходная система является несовместной, сообщение будет иметь вид (рис. 3):

Рис. 3

В нашем случае система совместна и сообщение принимает вид (рис. 4):

Рис. 4

Щелкаем по клавише ОК и сохраняем файл с решением задачи.

Задача решена. Искомые величины неизвестных содержатся в ячейках A4:D4 (рис. 5).

Рис. 5. Рабочий лист с решением задачи

Шаг 3. Анализ решения. Главной составляющей анализа полученного решения является вопрос о его единственности. Для проверки вычислим определитель матрицы системы. Если он не равен нулю, то по теореме Крамера система будет иметь единственное решение.

В свободную ячейку (например, в ячейку F4) вводим формулу «=МОПРЕД(A8:D11)», вычисляющую определитель (рис. 6):

Рис.6

Определитель матрицы системы оказался не равным нулю. Это означает, что найденное решение единственно. Задача решена.

Если бы определитель оказался бы равным нулю, то тогда решаемая система имела бы бесконечное число решений (так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных). В этом случае на основании априорной информации фиксируем значения для выбранных свободных переменных, добавляем в шаблон соответствующее ограничение и решаем задачу заново. Получив таким образом необходимое число решений, с помощью мастера диаграмм можно построить графическое отображение множества всех решений (совокупность прямых в случае одной свободной переменной).

Задача 2. Решить систему линейных уравнений :

Реализуя описанный выше алгоритм решения задачи, получаем решение (рис 7):

Рис. 7

Поскольку в процессе решения выяснилось, что система совместна, то она имеет бесконечно много решений определяемых свободными переменными (уравнений всего четыре, а неизвестных – пять). Для получения конкретного результата необходимо задавать конкретное значение свободным переменным. Если свободная переменная одна, то тогда достаточно получить два решения, соответствующие двум различным значениям свободной переменной, после чего построить графики зависимостей, отображающих все множество решений. Какие из переменных можно считать свободной, определяется из априорных данных или содержательной стороны задачи.

Пусть, например, свободной переменной является , а естественными значениями для нее являются значения на отрезке [1, 10]. Получим решения, соответствующие крайним точкам отрезка. Добавляя в шаблон ограничение $E$4=1, соответствующее условию =10, получаем решение (рис. 8):

Рис.8

Копируем полученные в области A4:E4 значения переменных в свободную область A5:E5 и повторяем решение, изменив в поле Ограничения $E$4=10 на $E$4=1, что соответствует условию (рис. 9):

Рис. 9

По области данных A4:E5 с помощью мастера диаграмм строим графики зависимости переменных, отражающие все множество решений системы (рис. 10):

Рис. 10

Задачи для самостоятельного решения

3.1.1. Ответ: .	3.1.2. Ответ: .
3. 1.3. Ответ: .	3. 1.4 Ответ: .
3. 1.5 Ответ:	3.1.6 Ответ: решений бесконечно много; если , то тогда .

Домашнее задание

Решить с помощью Excel следующие задачи:

1 Ответ: .	2. Ответ: .
3. Ответ: .	4. Ответ: .
5. Ответ: .	6. Ответ: .
7. Ответ: .	.8 Ответ: .
9 Ответ:	10 Ответ: решений бесконечно много; если , то тогда .