Учет односторонней связи с основанием




Из принятых положительных направлений усилий и перемещений (см. рис. 8.13) и поверхности прогиба (8.66) видно, что контакт нижней поверхности элемента с поверхностью упругого основания будет осуществляться при Zi > 0; Zj > 0; Zl > 0; Zk > 0; > 0; > 0; > 0; > 0; < 0; < 0; < 0 и < 0. В противном случае при допущении односторонней связи будет происходить отлипание нижней поверхности элемента от поверхности основания.

На основании этого диагональную матрицу единичных функций (8.21) можно записать в виде:

h g = [ hi hi hi hi hj hi hi hj hj hi hi hj ] (8.72)

 

Пример 8.4. Требуется рассчитать плиту, свободно стоящую на упругом основании (рис. 8.15) с коэффициентом постели k 0 = 12,7 Н/см3 при нагрузке силами F 1 = 23 кН и F 2 = 46 кН. Материал плиты – бетон (жесткость E = 3,1∙106 Н/см2, μ = 0,15). Расчет произвести без учета односторонней связи с основанием.

Решение. 1. Определим жесткостные характеристики плиты (8.69):

μ x = μ y = 0,15; ν = 1 – μ x μ y =0,9775; G = 3,1∙106/2(1+ 0,15) = 1,349∙ 106 Н/см2;

D = Dx = Dy = 3,1∙106∙403/(12∙0,9775) = 169,139∙ 108 Н∙см;

Dk = 1,349∙106∙403/6 = 0,851 D.

2. Составим дискретную схему плиты, разбив ее на конечные элементы. Рассматриваемая плита (см. рис. 8.15) при заданном загружении имеет четыре оси симметрии. В силу этого при расчете можно рассмотреть 1/4 часть плиты, а уравнения метода перемещений, используя диагональную ось симметрии, составить для 1/8 части. На рис. 8.16 показана сетка разбивки четверти плиты на конечные элементы со сторонами а = в = 100 см. В силу симметрии для 1/8 части плиты можно сформулировать следующие граничные условия: в узлах 1, 2, 3 әw/әy = 0; в узлах 4, 7, 9 әw/әy = әw/әx.

Таким образом, разрешающая система уравнений буде 21 – го порядка.

3. Вычислим матрицы жесткости конечных элементов, приняв за общий множитель величину D / a: матрицу - по таблице8.2; матрицу - по таблице8.3. Так размеры всех элементов одинаковы, то и матрицы жесткости будут одинаковы. Матрицы , и их сумма приведены, соответственно в таблицах 8.7 – 8.9. Так как общие оси координат совпадают о местными, то блоки матриц жесткости

4. В соответствие с заданной расчетной схемой (см. рис. 8.15) и схемой разбивки на конечные элементы (см. рис. 8.16) матрицы свободных членов системы уравнений для каждого узла будут:

5. Составим канонические уравнения в общем виде на основании (8.64) из условий равновесия каждого узла:

Узел 1. r ii Z 1 + r ij Z 2 + r il Z 4 + r ik Z 5 + R 1 =0;

Узел 2. r ji Z 1 + (r jj+ r ii) Z 2 + r ij Z 3 + r jl Z 4 + (r jk+ r il) Z 5 + r ik Z 6 + R 2 =0;

Узел 3. r ji Z 2 + r jj Z 3 + r jl Z 5 + r jk Z 6 + R 3 =0;

Узел 4. 0,5(r li+ r ji) Z 1 + 0,5(r lj+ r jl) Z 2 +0,5(r ll + r jj + r ii) Z 4 +

+0,5(r lk+ r ij + r jk + r il) Z 5 +0,5 r ik Z 7 + R 4 =0;

Узел 5. r ki Z 1 + (r kj+ r li) Z 2 + r lj Z 3 +(r kl + r ji) Z 4 +(r kk+ r ll + r jj + r ii) Z 5+

+(r lk+ r ij) Z 6 +(r jk+ r li) Z 7 + r ik Z 8 + R 5 =0;

Узел 6. r ki Z 2 + r kj Z 3 +(r kl+ r ji) Z 5+(r kk+ r jj) Z 6 + r jl Z 7 + r jk Z 8 + R 6 =0;

Узел 7. 0,5 r ki Z 4 +0,5(r kj+ r li + r kl + r ji) Z 5+ 0,5(r lj+ r ji) Z 6 +

+0,5(r kk+ r ll + r jj + r ii) Z 7+0,5(r lk+ r ij + r il + r jk) Z 8+0,5 r ik Z 9 + R 7 =0;

Узел 8. r ki Z 5 + r kj Z 6 +(r kl + r ji) Z 7 +(r kk+ r jj + 0,5 r jl) Z 8+ r ik Z 8 + R 8 =0;

Узел 9. 0,5 r ki Z 7 +0,5(r kj + r kl) Z 8 +0,5 r kk Z 9 + R 9 =0.

С учетом граничных условий в полученные выражения подставим матрицы неизвестных, пронумеровав их по порядку, начиная с узла 1:


 

 

Таблица 8.7

Матрица жесткости прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4

0,1053 2,32 2,32 –0,0468 2,17 0,68 –0,0132 0,83 0,83 –0,0468 0,68 2,17
  155,9973   –2,17 61,0007   –0,83 38,9993   0,68 44,0027  
    155,9973 0,68   44,0027 –0,83   38,9993 –2,17   61,0007
      0,1053 – 2,32 2,32 –0,0468 – 0,68 2,17 –0,0132 –0,83 0,83
        155,9973 – 15 – 0,68 44,0027   0,83 38,9993  
          155,9973 –2,17     –0,83   38,9993
  Симметрично     0,1053 – 2,32 –– 2,32 –0,0468 –2,17 – 0,68
  Общий множитель     155,9973   2,17 61,0007  
        155,9973 – 0,68   44,0027
(матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков)       0,1053 2,32 – 2,32
                    155,9973 – 15
                      155,9973

 

 

Таблица 8.8

Матрица жесткости прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4

0,0001 0,0014 0,0014   –0,0008 0,0006   –0,0003 –0,0003   0,0006 –0,0008
  0,0238 0,0188 0,0008 –0,0179 0,0125 0,0003 –0,0089 –0,0083 0,0006 0,0119 –0,0125
    0,0238 0,0006 –0,0125 0,0119 0,0003 –0,0083 –0,0089 0,0008 0,0125 –0,0179
      0,0001 –0,0014 0,0014   – 0,0006 0,0008   0,0004 –0,0004
        0,0238 – 0,0188 – 0,0006 0,0119 0,0125 –0,0003 –0,0089 0,0083
          0,0238 0,0008 –0,0125 –0,0179 0,0003 0,0083 –0,0089
  Симметрично     0,0001 – 0,0014 –– 0,0014   0,0008 – 0,0006
  Общий множитель     0,0238 0,0188 – 0,0008 –0,0179 0,0125
        0,0238 – 0,0006 –0,0125 0,0119
(матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков)       0,0001 0,0014 – 0,0014
                    0,0238 – 0,0188
                      0,0238

 

 

Таблица 8.8

Матрица жесткости прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4

0,1054 2,3214 2,3214 – 0,0468 2,1692 0,6806 – 0,0132 0,8297 0,8297 –0,0468 0,6806  
  156,0212 15,0188 – 2,1692 60,9828 0,0125 – 0,8297 38,9904 –0,0083 0,6806 44,0146 –0,0125
    156,0212 0,6806 –0,0125 44,0146 – 0,8297 –0,0083 38,9904 –2,1692 0,0125 60,9828
      0,1054 –2,3214 2,3214 –0,0468 – 0,6806 2,1692 – 0,0132 – 0,8297 0,8297
        156,0212 – 15,0188 – 0,6806 44,0146 0,0125 0,8297 38,9904 0,0083
          156,0212 –2,1692 –0,0125 60,9828 – 0,8297 0,0083 38,9904
  Симметрично     0,1054 – 2,3214 – 2,3214 –0,0468 –2,1692 – 0,6806
  Общий множитель     156,0212 15,0188 2,1692 60,9828 0,0125
        156,0212 – 0,6806 –0,0125 0,0119
(матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков)       0,1054 0,0014 44,0146
                    156,0212 – 2,3214
                      156,0212

 


 

6. Подставив в записанные в общем виде канонические уравнения блоки матрицы по таблице 8.8, получим систему уравнений в численном виде и, решив ее, найдем значения неизвестных (с общим множителем a / D):

Z 1 = 6499809,22; Z 8 = –2142,44; Z 15 = 1094818,79;

Z 2 = –27638,64; Z 9 = 3079211,64; Z 16 = –19595,84;

Z 3 = 4038061,52; Z 10 = –18985,86; Z 17 = –602185,38;

Z 4 = –22741,75; Z 11 = –18984,90; Z 18 = –15793,63;

Z 5 = 2040957,32; Z 12 = 1209863,92; Z 19 = –15793,57;

Z 6 = –18571,15; Z 13 = –16533,83; Z 20 = –954965,13;

Z 7 = 5300398,28; Z 14 = –16533,73; Z 21 = 12743,10.

7. Определим погонные усилия в элементах плиты на основании таблицы 8.6 и по формуле (8.30). Матрица Ng для конечных элементов данного примера приведена в таблице 8.9. Матрицы узловых перемещений для каждого элемента будут иметь вид:


 

 

Таблица 8.9

Матрица погонных усилий Ng прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4

D / a 0,039     – 0,06           – 0,009   0,3
– 0,06 – 2   0,069 – 4 0,6 – 0,009   0,3      
      – 0,009   – 0,3 0,069 – 4 – 0,6 – 0,06 – 2  
– 0,009   – 0,3       – 0,06     0,069   – 0,6
0,069 0,6   – 0,009 0,3         – 0,06    
– 0,009 – 0,3   0,069 – 0,6   – 0,06          
      – 0,06   – 2 0,069 – 0,6 – 4 – 0,009 – 0,3  
– 0,06   – 2       – 0,009 0,3   0,069 0,6 – 4
– 0,017 – 0,2125 – 0,2125 0,017 – 0,2125 0,2125 – 0,017 0,2125 0,2125 0,017 0,2125 – 0,2125

 

 


а матрицы усилий, вычисленные по формуле (8.30):

На основании полученных матриц усилий определим значения погонных моментов Mx и My в каждом узле дискретной схемы как среднее арифметическое между значения моментов, полученных для отдельных элементов:

Узел 1. Mx = 0; My = 27865,31 Н∙см/см = 27,865 кН∙м/м.

Узел 2. Mx = 0,5(1473,69 – 5349,35) = –1937,83 Н∙см/см = –1,938 кН∙м/м;

My = 0,5(19340,22 + 18316,77) = 18828,5 Н∙см/см = 18,828 кН∙м/м.

Узел 3. Mx = 0;

My = 16789,37 Н∙см/см = 16,789 кН∙м/м.

Узел 4. Mx = My = (11661,58 + 11041,76 +15173,9)/3 =12625,75 Н∙см/см = =12,626 кН∙м/м.

Узел 5. Mx = 0,25(–11716,86 + 5916,4–13889,45+3739,05) = –3987,72 Н∙см/см = –3,988 кН∙м/м;

My = 0,25(16240,72 + 18885,0+1756,72+4400,99) = 10320,86 Н∙см/см = =10,321 кН∙м/м.

 

Узел 6. Mx = 0,5(5613,4 – 5613,4) = 0;

My = 0,5(15061,44 + 9792,58) = 12427,01 Н∙см/см = 12,427 кН∙м/м.

 

Узел 7. Mx = My = 0,25(–3114,81 – 8556,97–9373,29–3931,13) = –6244,05 Н∙см/см = –6,244 кН∙м/м.

Узел 8. Mx = 0,5(1326,07 – 1326,07) = 0;

My = 0,5(–12399,16 – 16439,48) = –1441,32 Н∙см/см = –1,441 кН∙м/м.

 

Узел 9. Mx = My = 0,5(46634,8 – 46634,8) =0.

Эпюра осадок w и эпюры изгибающих моментов Mx и My, построенные по найденным значениям с использованием симметрии. Показаны для четверти плиты на рис. 8.17.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: