Найти промежутки монотонности и точки экстремума.




(f'(x) = 0, 3x3-3x2 -6x = 0, x(x2 –x -2) =0, x1=0, x2 =2, x3 =-1, f(-1)=1,25, f(0)=0, f(2)=-8)

 

x (- ;-1) -1 (-1;0)   (0;2)   (2; )
f’(x) -   +   -   +
f(x) убывает 1,25 min возрастает 0-max убывает -8 min возрастает

 

  1. Используя результаты исследования, построить график.

На первом рисунке отметили точки пересечения графика функции с осями координат (пункты исследования 4 и 5).

На втором рисунке отметили экстремумы (пункт исследования 6).

На третьем – достроили график на промежутках возрастания и убывания функции (пункт исследования 6).

Применение производной для нахождения наибольшего и

Наименьшего значений функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a;b], (например, f(x) = -2x3 - 6x2 +5 на [ -1;1]) надо:.

1.Найти производную функции; (f'(x) = -6x2 -12x)

2. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует (критические точки функции); (f'(x) = 0;

-6x2 -12x=0,-6x(x+2)=0, x =0, x=-2)

3.Выбрать из этих точек те, которые принадлежит промежутку [a;b]; (только точка x =0 принадлежит промежутку

[ -1;1])

4.Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах промежутка [a;b]; (f(0) =5; f(-1) =1;

f(1) =-3.)

Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Наибольшее значение функции f(x) = -2x3 -6x2 +5 на [ -1;1] равно 5;

наименьше значение функции f(x) = -2x3 -6x2 +5 на [ -1;1] равно-3.

 

Применение производной для определения мгновенной скорости.

Если движение точки задано уравнением s(t), то в момент времети to

Скорость ее движения равна s'(t).

Например, прямолинейное движение точки задано уравнением

s(t) = 2t2 -8t -10м. Найдите скорость движения в момент времени t =3c.

Решение.

1.Вычислим s' (t)=(2t2 -8t -10)' = 4t -8.

2.Найдем значение s' (2), s' (3)= 4∙3-8 =4(м/c)– это скорость движения в момент времени 3с.

Применение производной к решению геометрических задач

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной, к оси абсцисс проведенной к графику функции f(x) в точке (x0 ; f(x0), нужно

1.Найти производную функции (f'(x));

2.Найти значение производной в точке x0 (f'(x0));

3. Полученное значение будет равно тангенсу угла наклона, т.е. tgα = f'(x0).

Например: Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции у = x2 в точке с абсциссой x0 = 0,5.

1. Найдем производную функции f(x) = x2, f''(x) = 2x.

2. Найдем значение производной в точке x0 = 0,5, f''(0,5) = 1.

3. Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен 1.

Можно определить угол наклона касательной к оси абсцисс:

он равен 45˚, т.к. tg45˚ = 1.

 

8.Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x0 ; f(x0))

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x0 ; f(x0)), надо

1.Записать уравнение касательной к графику функции в точке f(x) в точке (x0 ; f(x0)):

у =f'(x0)x- f'(x0)x0 + f(x0);

2. Найти значение производной в точке x0 (f'(x0));

3. Найти значение функции в точке x0 (f(x0));

Подставить найденные значения в уравнение пункта 1.

Например:

Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции

y = x3+1 в точке (1; 2).

 

1. Запишем уравнение касательной:

у =f'(x0)x- f'(x0)x0 + f(x0);

2.Найдем значение производной в точке x0 =1:

f'(x) = 3x2, f'(1)=3;

3.Найдем значение функции в точеке x0 =1: f(1) =2;

4. Подставим найденные значения в уравнение:

у =3x - 3∙1 + 2;

у =3x – 1- это уравнение касательной, проведенной к графику функции

y = x3+1 в точке (1; 2).

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: