Решение логарифмических неравенств




 

1.Решить неравенство:

Решение

 

x .

 

2.Решить неравенство:

Решение

 

 

 

 

3.Решить неравенство:

 

Решение

 

4. Решить неравенство:

 

Решение

Заметим, что выражение для (, по свойству среднего арифметического и среднего геометрического).

Поэтому данное неравенство равносильно неравенству .

.

 

 

5. Решить неравенство

Решение

6.Найти сумму натуральных решений неравенства

Можно решить это неравенство по аналогии с предыдущими неравенствами, используя правила замены выражений на совпадающие с ними по знаку:

 

 

Натуральные решения 1; 2; 3. Их сумма равна 6.

 

Свойства логарифмов в таблице (24)

 

Свойство, определение Применение Примечание Пример
  , где Для вычисления значений логарифмов Можно использовать для представления числа в виде логарифма по любому основанию   2= log9 81
  Основное логарифмическое тождество , b>0, a>0, a≠1.   Для упрощения выражений Можно использовать для представления любого положительного числа в виде степени с любым положительным основанием, отличным от 1     3= 5log5 3
  logab + logac = logabc, где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.   Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах При переходе от левой части равенства к правой область определения может расшириться.   log210= 1 + log25
  logab - logac = loga (b: c), где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.   Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах При переходе от левой части равенства к правой область определения может расшириться lg 2=lg(10:5) 1 - g5
  logabn =nloga b, где b>0, a>0, a≠ 1.   Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах При переходе от левой части равенства к правой область определения может сузиться   log2(x-2)4 = 4log2|x-2|
  Формула перехода от одного основания логарифма к другому logab= , где b>0, a>0, a≠ 1, с>0, c≠ 1.   Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах При решении уравнений и неравенств, как правило, следует прейти к одному и тому же основанию логарифма.     log29 = .  
  Формула замены основания логарифма на его число logab = , b>0, b ≠1,a>0, a≠ 1, Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах   Можно использовать неравенство |logab+ |≥2, b>0, a>0, a≠ 1,   log29 = .  
    logarx= log a x, x>0, a>0, a .   Для вычислений и преобразований выражений Для перехода к меньшему основанию логарифма   log 4x= 1/2log 2 x,
  logarxr=log a x, x>0, a>0, a .   Для перехода к другому основанию логарифма, вычислений и преобразваний При переходе от одной части равенства к другой область определения может измениться  
  clogab = blogac, a>0, a , b>0, c>0, b , c .   Для перехода к одному основанию логарифма, при вычислениях, преобразованиях, в решениях уравнений и неравенств Если равенство содержит переменные, то учесть область определения   =7
  , a>0, a , b>0, b . Для перехода к одному основанию логарифма при вычислениях, преобразованиях, в решениях уравнений и неравенств Если равенство содержит переменные, то следует учесть область определения    
  logab 2n =2nloga |b|, где b>0, a>0, a≠ 1.   Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах Если равенство содержит переменные, то следует учесть область определения log4 (x-2) 2 =2log4 |x-2|
    (logab >0) ((a-1)(b-1)>0), a>0, a , b>0.   При решении неравенств Учитывать область определения   (logx (x+4) >0) ((x-1)(x+3)>0), x>0, x , x+4>0.  
  (logab <0) ((a-1)(b-1)<0), a>0, a , b>0.   При решении неравенств Учитывать область определения (logx (x+4) <0) ((x-1)(x+3)<0), x>0, x , x+4>0.  
  logab - logac <0) ((a-1)(b-c)<0), a>0, a , b>0, c >0   При решении неравенств Учитывать область определения
  logab - logac >0) ((a-1)(b-c)>0), a>0, a , b>0, c >0   При решении неравенств Учитывать область определения
  logaa = 1, a>0, a , При решении уравнений, неравенств Учитывать область определения ,
  loga1 = 0, a>0, a , При решении уравнений, неравенств   log51 = 0, log31 = 0
  logaa n =n a>0, a , При решении уравнений, неравенств   log55 4 =4

 

 

Тестовые задания: применение свойств логарифмов(25)

 

Задание Результат
  Расположите в порядке возрастания значения выражений:   a)-1; b) 2; c) ½; d)0; e) -2; f)3 e),a), d),c),b), f).
  Представьте число 3 в виде логарифма по основанию a) 3; b) 2; c) ½; d) 10; e)1/3; f)a     a)3= log 3 27; b) 3= log 2 9; c) 3= log 1/21/8; d) 3= lg1000; e) 3= log 1/31/27; f) 3= log a a3
  Представьте в виде степени: a) с основанием 5 число 2; b) с основанием 6 число 7; c)с основанием 4 число 9; d) с основанием 7 число 15 e) с основанием 10 число 2; f) с основанием 1/2 число 6;   a) b) c) 9 = 4log4 9; d) 15 = 7log7 15; e) 2= ; f) 6=
  Найдите значение выражения     1) ; 2) 25; 3) 6; 4) -5/4; 5) 4;
  1) ; 2) 25;3) 6; 4) -5/4;5) 4;
  ; 1) ; 2) 25; 3) 6; 4) -5/4;5) 4;
  ; 1) ; 2) 25;3) 6; 4) -5/4;5) 4;
  1) ; 2) 25; 3) 6; 4) -5/4; 5) 4;
  ; 1) ; 2) 2;3) 6; 4) -5;5) 1;
  ; 1) ; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
  . 1) ; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
  ; 1)0; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
  ;   1)0; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
      1)9; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
  Пусть Выражение log6 2 равно:     1)a/(a-1); 2) 1-a; 3) (1-a)/(2a); 4) 3(1+a); 5)- 1;
  Найдите   1)a-2b-2/(a-1); 2) 1-a; 3) (1-a)/(2a); 4) 3(1+a); 5)- 1;
  Найдите 1)a-2b-2/(a-1); 2) 1-a; 3) (1+a)/(2a+b); 4) 3(1+a); 5)- 1;
  Пусть Найдите: log 300 75 1)(a+2ab)/(2+a+2ab); 2) 1-a; 3) (1+a)/(2a+b); 4) 3(1+a); 5)- 1;
  Пусть Найдите: 1)(a+2ab)/(2+a+2ab); 2) 1-a; 3) (1+a+ab)/(2+a+ab); 4) 3(1+a); 5)- 1;
  Известно, что . Вычислите   1)(1- 2) 1; 3) (2+ 4) 3(1+ ); 5) ;
  Известно, что . Вычислите   1) 2) 1- ; 3) 1; 4) 3(1+- );5) ;
  Определите верные неравенства a) b) c) d) e) f) g) h) 1.b,d,g. 2.a,b,f; 3.f,g,h; 4d,e,h; 5.a,f,h
  Значение выражения равно:   1) 0; 2) 1 3) ; 4) ; 5) -1
  Пусть Какое из следующих выражений равно 3(1+a)?   1.b. 2. f; 3. h; 4d; 5.a.
  Пусть Выражение равно 1)a/(a-1); 2) 1-a; 3) (1-a)/(2a); 4) 3(1+a); 5)- 1;
  Результат упрощения выражения равен 1) 2; 2) log2x; 3) 0; 4) ; 5) другой ответ

 

 

Свойства логарифмической функции(26)

 

Свойства функция y = lоga x, a >1 y = lоga x, 0 <a < 1
Область определения (D) D(lоga x) =(0;+ ∞) D(lоga x) =(0;+ ∞)
Множество значений (E) E(lоga x) =(- ∞;+ ∞) E(lоga x) =(- ∞;+ ∞)
Нули функции lоga x =0 x=1 lоga x =0 x=1
Знаки функции logax > 0 при x>1 logax < 0 при 0<x<1.   logax<0 при x >1 logax >0 при 0<x<1.
Промежутки возрастания y = lоga x при a>1 возрастает на всей областиопределения.  
Промежутки убывания   y = lоga x при 0<a<1убывает на всей области определения.
Графики

 

Тестовые задания на применение свойств логарифмической функции(27)

Задание Ответ
  Найдите область определения функции y=log3 (5 + 4x - x2 )   1.(-1;5); 2. [-1;5); 3. [-1;5]; 4.(-∞;-1) (5;+∞) 5..(-∞;-1] [5;+∞)
  Найдите область определения функции y= logx+1 (2-x) 1.(-1;2); 2. [-1;0); 3. [-1;2]; 4.(-1;0) (0;2) 5..(-∞;-1] [2;+∞)
  Найдите множество значений функции y=log3 (5 + 4x - x2 )   1.(-1;2); 2. [-1;0); 3. [-1;2]; 4.(-1;0) (0;2) 5. (-∞;2]
  Наибольшее значение функции y=log3 (2+ 2x - x2 )   1)0;2)4;3)2;4)1; 5)1/9.  
  Наименьшее значение функции y=log0,5 (3+ 2x - x2 )   1)0;2)4;3)-2;4)1; 5)1/4.  
  Больше единицы значение функции при x, равном: 1)64;2)4;3)2;4)1; 5)1/16.  
  Больше единицы значение функции при x, равном: 1)64;2)4;3)2;4)1; 5)1/16.  
  Только неотрицательные значения принимает функция: 1.y=log1/3 (5 + 4x - x2 ); 2. y=log3 (5 + 4x + x2 ); 3. y=log3 (3 + 4x -x2 ); 4. y=log1/3 (3 + 4x -x2 ); 5. y=log1/2 (3 + 4x -x2 ).
7. Решите уравннеие 1)0;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.  
8. Решите уравннеие 1)0;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.  
9. Решите уравннеие 1)2;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.
  Решите неравенство 1. (1;7) (7;+∞); 2. [1;7); 3. [1;2]; 4.(1;7) (7;79) 5..(-∞;-1] [7;+∞)
  Решите неравенство 1)0;2)4;3)-2;4)-1; 5)1/9.
  Решите уравннеие 1)0;2)π;3)3π;4)1; 5)3.
  Решите уравннеие 1)0;2)π;3)3π;4)1; 5)3.
  Решите уравннеие 1)0;2)π;3)4;4)1; 5)3
  Решите уравннеие 1)0;2)π;3)3π;4)1; 5)3.
  Решите уравннеие 1)0;2)π;3)3π;4)1; 5)3.
  Решите уравннеие 1)0;2)2;3)3π;4)1; 5)3.
  Корень уравнения принадлежит промежутку     1) (-3;1]; 2) [-1;2); 3) (-10;0]; 4) (-10;3]; 5) [0;3)
  Наименьший корень уравнения равен     1) -2; 2) -0,5; 3) π/2; 4) 8; 5) другой ответ  
  Наименьшее неотрицательное число из области определения функции y =     1).1;2) π; 3) 2; 4) 2π; 5) 0.  

 

Решние логарифмических уравнений и неравенств в таблицах(28)

 

Вид уравнения, неравенства Метод решения Применение Примечание
    loga f(x)= loga g(x)   а>0, а≠1   loga f(x)= loga g(x) , где а>0, а≠1, g(x) > 0, f(x) > 0. Применяется для любого положительного основания, отличного от 1.   При решении уравнения могу появиться посторонние корни, поэтому следует сделать проверку решений.
  loga f(x)= = b где а>0, а≠1 loga f(x)= = b f(x)=a b Применяется для любого положительного основания, отличного от 1.  
  A loga 2 f(x) +B loga f(x)= +C=0, A≠0. С помощью подстановки y= loga f(x) сводится к квадратному уравнению Ay2+By+C=0. Применяется для уравнений, содержащих loga 2 f(x) и loga f(x) или loga f(x) и loga -1 f(x). Подстановка может быть применена к уравнению p(x)= loga f(x)    
  Уравнения, решаемые функциональным методом   f(x)= g(x) Если f(x) возрастает, а g(x) не возрастает на их общей области определения, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня. Так как — возрастающая функция (основание больше единицы) и — убывающая, то уравнение может иметь не более одного корня. Методом подбора его легко найти .  
    Уравнения, решаемые методом логарифмирования   Переменная величина под знаком логарифма и в основании степени   При условии, что обе части уравнения положительны, обе части уравнения можно логарифмировать Область определения: и при значит, логарифмируем по основанию 3.
6. loga f(x)>   >loga g(x),   а>0, а≠1; loga f(x)<   <loga g(x)   а>0, а≠1 Применить замену данного выражения на знакосовпадающее с ним Применяется для решения неравенств, содержащих переменную в основании  
7. A loga 2 f(x) +B loga f(x) +C >0, A≠0. A loga 2 f(x) +B loga f(x) +C <0, A≠0. С помощью подстановки y= loga f(x) сводится к квадратному неравенству Ay2+By+C>0. (Ay2+By+C<0) Применяется для неравенств содержащих loga 2 f(x) и loga f(x) или loga f(x) и loga -1 f(x). log72 x + log7 x < 6; Обозначим log7 x через t, log7 x =t, тогда неравенство примет вид t2 + t<6; откуда -3<t<2. Учитывая то, что log7 x =t, получим неравенство -3<log7 x<2, 1/343<x <49. Решением данного неравенства служит промежуток (1/343;49)
           


 

 

Тестовые задания: простейшие логарифмические уравнения и неравенства (29)

 

Задание Ответы
  Решите уравнение 1) ; 2)2; 3); 4)0; 5) .
  Решите уравнение 1) ; 2)2; 3); 4)0; 5) .
  Решите уравнение 1) ; 2)2; 3); 4)-5; 5) .
  Число корней уравнения 1)5; 2)2; 3)7; 4)0;5)6.
  Число корней уравнения равно 1)3; 2)2; 3)7; 4)0;5)6.
  Число корней уравнения 1)5; 2)2; 3)7; 4)0;5)6.
  Решите уравнение 1.-0,5; 2,5; 2)2;3; 3)-7;1; 4)0;0,5 5)-2;2,5.
  Решите уравнение 1)3; 2)2; 3)7; 4)0,55)6.
  Решите уравнение 1.-3,25; 1,25; 2)2;3; 3)-7;1; 4)0;0,5 5)-2;2,5.
  Решите уравнение     1)3; 2)2; 3)7; 4)0,55)6.
  Решите уравнение 1)3; 2)2; 3)0; 4)0,55)6.
  Число корней уравнения 1)3; 2)2; 3)1; 4)0;5)4.
  Решите уравнение   1)10; 2)2; 3)1; 4)100;5)0,1
  Число корней уравнения 1)3; 2)2; 3)1; 4)2;5)0
  Решите уравнение   1. 9; 2. 3;3)0; 1 4)0,09;35)9.
  Число корней уравнения 1)3; 2)2; 3)1; 4)4;5)0.
  Число корней уравнения 1)3; 2)2; 3)1; 4)0;5)4.
  Число целых рашений неравенства: 1)3; 2)2; 3)1; 4)0;5)4.
  Наибольшее целое решение неравенства: 1)10; 2)2; 3)100; 4)99; 5) 1000
  Число целых решений неравенства 1)3; 2)2; 3)1; 4)4;5)0.

 

Тестовые задания логарифмические уравнения и неравенства (30)

 

№   Задание Ответы
  Решите уравнение log1/3(3+│sin x │) =2x-2 1)π; 2)2π; 3) π +2πn,n Z; 4)0; 5) πn,n Z.
  Решите уравнение   log22x + (x-1) log2x = 6-2x 1)0,25; 2; 2)1; 1; 3) 2; 1; 4) 2; 2; 5)0,25;1.
  Решите уравнение log22 (x+y) – 2sinx log2 (x+y) +1+ │y-1│=0   1)1; 2; 2)1; 1; 3) 2; 1; 4) 2; 2; 5)0,25;1.
  Решите уравнение 3sin x = 1)- , n Z; 2)2π; π;3) π +2πn, π +2πn, n Z; 4)0; 0;5) πn,πn,n Z.
  Решите уравнение: log2 (4x+1) log5 (4x+4)+ +log3 (4x+2) log4 (4x+3) = 2 log3 (4x+2) log5 (4x+4) 1)¼. 2)1; 3) 2; 4) 2; 5)0,25;
  Решите неравенство: 1.(1;7) 2)(1; +∞) 3) (7; +∞) 4) [1; +∞); 5) [7; +∞)
7. Определите количество решений уравнения : 1.4; 2.3; 3.5; 4.9; 5.1.
  Решить неравенство: 1. ; 2. ; 3.[ 0;3] (4;5); 4. ; 5.
  Решить неравенство: 1. ; 2. ; 3.[0;3] (4;5); 4. ; 5.
  Решите неравенство: 1. ; 2. ; 3.[ 0;3] (4;5); 4. ; 5.
  Решите неравенство: 1.[1;3] 2. ; 3.[ 0;3] (4;5); 4. ; 5.
  Решите неравенство: .  
  Решите неравенство: 1. ; 2. ; 3.[ 0;3] (4;5); 4. ; 5.
  Решите неравенство:  
  Решите неравенство: 1. 2. ; 3.[0;3] (4;5); 4. ; 5.  
  Решите неравенство: 1. ; 2. ; 3.[0;3] (4;5); 4. ; 5.  
  Найдите сумму целых решений неравенства на промежутке [-3;3] 1.4; 2.3; 3.5; 4.9; 5.1.
  Решите неравенство: 1) ; 2. ; 3. ; 4. 5.
  Решите неравенство: 1) ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.  
  Решите неравенство: 1) ; 2. ; 3) ; 4. ; 5.
  Решите неравенство: 1) ; 2. ; 3) ; 4. ; 5.
  Решите неравенство: 1) ; 2. ; 3) ; 4. ; 5.
  Решите неравенство: 1. 2. ; 3) ; 4. ; 5.
  Определите число целых решений неравенства log2+x (6-│x│) ≥ 0 1) 6; 2.3; 3.5; 4.9; 5.1.
  Решите уравнение   1.8, π/2; 5π/2. 2. 4, 5π/2. 3. π/2; 5π/2. 4. 5π/2. 5. 2, π/2.
  Решите уравнение: log9(37-12x)·log7-2x3 = 1.   1.1; 2.3; 3.5; 4.2; 5.-1.
  lg sinx + lg cosx < 0     1.(2πn;π/2+2πn), n 2. (4; 5π/) 3. (π/2; 5π/2). 4. 5π/2. 5.(1;π/2).

 

 

Дополнительные справочные материалы

 

 

Данное выражение Выражение, совпадающее по знаку с данным Дополнительные условия
, , ,
,
, ,
,

 

Название формулы Вид формулы Применение
Разность квадратов a2 - b 2 = (a-b)(a+b) Для разложения выражения на множители.
Квадрат разности (a - b) 2 = a 2 -2ab + b 2 В тождественных преобразованиях.
Квадрат суммы (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 В тождественных преобразованиях.
Куб разности (a - b) 3 = a 3 -3a 2b +3a b 2 –b3 В тождественных преобразованиях.
Куб суммы (a + b) 3 = a 3 +3a 2b +3a b 2 +b3 В тождественных преобразованиях.
Разность кубов a3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2) Для разложения выражения на множители.
Сумма кубов


Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: