И. К. СИРОТИНА
ОСНОВЫВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДИЗАЙН
МАТРИЦЫИ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Основные понятия и определения
Матрицей размеров называют систему чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, имеющей n строк и m столбцов:
, , .(1.1)
Виды матриц
Рассмотрим несколько основных видов матриц:
1) квадратная матрица порядка n содержит n строк и n столбцов:
; (1.2)
2) треугольная матрица – это квадратная матрица, которая содержит под главной диагональю (или над главной диагональю) только нули:
или ; (1.3)
3) диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой элементы, не стоящие на главной диагонали – нули:
; (1.4)
4) единичная матрица – это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы:
; (1.5)
5) нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы – нули:
; (1.6)
6) матрица-строка содержит только одну строку:
; (1.7)
7) матрица-столбец содержит только один столбец:
. (1.8)
Действия с матрицами
Транспонирование матрицы
Транспонировать матрицу – значит, заменить все ее строки соответствующим столбцами.
Например, транспонируя матрицу (1.1), получим:
. (1.9)
Сложение (вычитание) матриц
Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы. Складывать и вычитать можно матрицы только одинаковых размеров.
Например,
; (1.10)
Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
Например,
; (1.11)
Пример 1. Найдите , если
, а .
Решение. 1. Умножим матрицу А на число 5:
.
2. Транспонируем матрицу В:
.
3. Умножим матрицу на число – 2:
.
4. Найдем значение выражения :
.
Ответ: .
Умножение матрицы на матрицу
Умножать можно только согласованные матрицы. Говорят, что матрица А согласована с матрицей В, если количество столбцов матрицы А, равно количеству строк матрицы В.
В результате умножения матрицы на матрицу , получают матрицу , элементы которой находят по формуле:
. (1.12)
Например,
.
Пример 2. Сравните произведения АВ и ВА матриц и .
Решение. Поскольку имеем квадратные матрицы одного и того же порядка (они согласованы), то можем найти и произведение АВ, и произведение ВА.
1. Найдем АВ:
.
2. Найдем ВА:
.
Ответ: .
Пример 3. Найдите всевозможные произведения матриц:
, и .
Решение. Матрица А имеет три столбца, а матрица В содержит три строки. Значит матрица А согласована с матрицей В и, следовательно, существует произведение АВ. Матрица С (содержит два столбца) согласованна с матрицей А (содержит две строк), значит существует произведение СА. Не согласованные матрицы: В и А, А и С, В и С, С и В.
1. Найдем АВ:
.
2. Найдем СА:
.
Ответ: ; .
Элементарные преобразования матриц
К элементарным преобразованиям матриц относят:
1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое число;
3) перестановку местами двух строк (столбцов).
Числовые характеристики матриц
Определитель матрицы
Для определителя матрицы употребляются обозначения: , , .
Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формулам:
; (1.13)
; (1.14)
, (1.15)
где – алгебраическое дополнение элемента матрицы А.
Замечание. В формуле (1.15) определитель разложен по элементам первой строки.
Пример 4. Найдите определитель матрицы .
Решение. Имеем матрицу второго порядка. Применим формулу (1.13):
.
Ответ: – 98.
Пример 5. Найдите определитель матрицы .
Решение. Имеем матрицу третьего порядка. Применим формулу (1.14):
.
Ответ: 48.
Минор
Минор элемента квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует i- я строка и j -й столбец.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы находят по формуле:
. (1.16)
Пример 6. Найдите значение выражения , если .
Решение. 1. Найдем минор , вычеркнув из определителя матрицы А третью строку и третий столбец:
.
2. Найдем минор , вычеркнув из определителя матрицы А вторую строку и первый столбец:
.
3. По формуле найдем алгебраические дополнения и :
; .
4. Найдем значение выражения :
.
Ответ: 760.
Пример 7. Найдите определитель матрицы
.
Решение. 1. Имеем матрицу четвертого порядка. Разложим ее определитель по элементам четвертого столбца, поскольку этот столбец содержит наибольшее количество нулей.
.
2. По формуле найдем алгебраическое дополнение :
, .
3. Получим: .
Ответ: – 21.
Свойства определителей
1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.
Например, .
2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак.
Например, .
3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Например, .
4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Например, .
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Например, .
6. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на одно и то же число, то определитель не изменится.
Например, .
Контрольный тест 1
Установите соответствие (1 – 8):
1. Согласованность матриц
, и :
МАТРИЦА | ЕЕ РАЗМЕР | СОГЛАСОВАНА С МАТРИЦЕЙ |
1) А; | а) ; | ж) С; |
2) В; | б) ; | з) А; |
3) С. | в) ; | и) и А, и В; |
г) ; | к) и В, и C; | |
д) . | л) и А, и С. |
2. Транспонирование матриц:
МАТРИЦА | ТРАНСПОНИРОВАННАЯ МАТРИЦА |
1) ; | а) ; |
2) ; | б) ; |
3) . | в) ; |
г) ; | |
д) . |
3. Действия с матрицами
, и :
ДЕЙСТВИЕ | РЕЗУЛЬТАТ |
1) ; | а) ; |
2) ; | б) ; |
3) . | в) ; |
г) ; | |
д) . |
4. Действия с матрицами
, и :
ДЕЙСТВИЕ | РЕЗУЛЬТАТ |
1) ; | а) ; |
2) ; | б) ; |
3) . | в) ; |
г) ; | |
д) . |
5. Числовые характеристики матриц:
МАТРИЦА | ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ |
1) ; | а) 0; |
2) ; | б) – 60; |
3) . | в) – 20; |
г) – 18; | |
д) 60. |
6. Дана матрица :
МИНОР | ЗНАЧЕНИЕ |
1) ; | а) – 9; |
2) ; | б) 10; |
3) ; | в) – 20; |
4) . | г) – 5; |
д) 11; | |
е) 9. |
7. Дана матрица :
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ | ЗНАЧЕНИЕ |
1) ; | а) – 1; |
2) ; | б) – 4; |
3) ; | в) – 6; |
4) . | г) 2; |
д) 1; | |
е) 0. |
Укажите правильный вариант ответа:
8. Если матрица А имеет вид
,
то значение выражения равно
Варианты ответов: 1) 8; 2) – 4; 3) 3; 4) – 10; 5) 100.
9. Если определитель матрицы
равен – 11, то положительное значение x равно
Варианты ответов: 1) 4; 2) 8; 3) 2; 4) 6; 5) 13.
10. Наименьшее неотрицательное решение уравнения
равно
Варианты ответов: 1) 1; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 0.