Алгебраическое дополнение




И. К. СИРОТИНА

ОСНОВЫВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ДИЗАЙН

МАТРИЦЫИ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Основные понятия и определения

Матрицей размеров называют систему чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, имеющей n строк и m столбцов:

, , .(1.1)

Виды матриц

Рассмотрим несколько основных видов матриц:

1) квадратная матрица порядка n содержит n строк и n столбцов:

; (1.2)

2) треугольная матрица – это квадратная матрица, которая содержит под главной диагональю (или над главной диагональю) только нули:

или ; (1.3)

3) диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой элементы, не стоящие на главной диагонали – нули:

; (1.4)

4) единичная матрица – это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы:

; (1.5)

5) нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы – нули:

; (1.6)

6) матрица-строка содержит только одну строку:

; (1.7)

7) матрица-столбец содержит только один столбец:

. (1.8)

Действия с матрицами

Транспонирование матрицы

Транспонировать матрицу – значит, заменить все ее строки соответствующим столбцами.

Например, транспонируя матрицу (1.1), получим:

. (1.9)

Сложение (вычитание) матриц

Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы. Складывать и вычитать можно матрицы только одинаковых размеров.

Например,

; (1.10)

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Например,

; (1.11)

Пример 1. Найдите , если

, а .

Решение. 1. Умножим матрицу А на число 5:

.

2. Транспонируем матрицу В:

.

3. Умножим матрицу на число – 2:

.

4. Найдем значение выражения :

.

Ответ: .

Умножение матрицы на матрицу

Умножать можно только согласованные матрицы. Говорят, что матрица А согласована с матрицей В, если количество столбцов матрицы А, равно количеству строк матрицы В.

В результате умножения матрицы на матрицу , получают матрицу , элементы которой находят по формуле:

. (1.12)

Например,

.

Пример 2. Сравните произведения АВ и ВА матриц и .

Решение. Поскольку имеем квадратные матрицы одного и того же порядка (они согласованы), то можем найти и произведение АВ, и произведение ВА.

1. Найдем АВ:

.

2. Найдем ВА:

.

Ответ: .

Пример 3. Найдите всевозможные произведения матриц:

, и .

Решение. Матрица А имеет три столбца, а матрица В содержит три строки. Значит матрица А согласована с матрицей В и, следовательно, существует произведение АВ. Матрица С (содержит два столбца) согласованна с матрицей А (содержит две строк), значит существует произведение СА. Не согласованные матрицы: В и А, А и С, В и С, С и В.

1. Найдем АВ:

.

2. Найдем СА:

.

Ответ: ; .

Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям матриц относят:

1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое число;

3) перестановку местами двух строк (столбцов).

Числовые характеристики матриц

Определитель матрицы

Для определителя матрицы употребляются обозначения: , , .

Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формулам:

; (1.13)

; (1.14)

, (1.15)

где – алгебраическое дополнение элемента матрицы А.

Замечание. В формуле (1.15) определитель разложен по элементам первой строки.

Пример 4. Найдите определитель матрицы .

Решение. Имеем матрицу второго порядка. Применим формулу (1.13):

.

Ответ: – 98.

Пример 5. Найдите определитель матрицы .

Решение. Имеем матрицу третьего порядка. Применим формулу (1.14):

.

Ответ: 48.

Минор

Минор элемента квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует i- я строка и j -й столбец.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы находят по формуле:

. (1.16)

Пример 6. Найдите значение выражения , если .

Решение. 1. Найдем минор , вычеркнув из определителя матрицы А третью строку и третий столбец:

.

2. Найдем минор , вычеркнув из определителя матрицы А вторую строку и первый столбец:

.

3. По формуле найдем алгебраические дополнения и :

; .

4. Найдем значение выражения :

.

Ответ: 760.

Пример 7. Найдите определитель матрицы

.

Решение. 1. Имеем матрицу четвертого порядка. Разложим ее определитель по элементам четвертого столбца, поскольку этот столбец содержит наибольшее количество нулей.

.

2. По формуле найдем алгебраическое дополнение :

, .

3. Получим: .

Ответ: – 21.

Свойства определителей

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.

Например, .

2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак.

Например, .

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Например, .

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Например, .

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Например, .

6. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на одно и то же число, то определитель не изменится.

Например, .

Контрольный тест 1

Установите соответствие (1 – 8):

1. Согласованность матриц

, и :

МАТРИЦА ЕЕ РАЗМЕР СОГЛАСОВАНА С МАТРИЦЕЙ
1) А; а) ; ж) С;
2) В; б) ; з) А;
3) С. в) ; и) и А, и В;
  г) ; к) и В, и C;
  д) . л) и А, и С.

2. Транспонирование матриц:

МАТРИЦА ТРАНСПОНИРОВАННАЯ МАТРИЦА
1) ; а) ;
2) ; б) ;
3) . в) ;
  г) ;
  д) .

3. Действия с матрицами

, и :

ДЕЙСТВИЕ РЕЗУЛЬТАТ
1) ; а) ;
2) ; б) ;
3) . в) ;
  г) ;
  д) .

4. Действия с матрицами

, и :

ДЕЙСТВИЕ РЕЗУЛЬТАТ
1) ; а) ;
2) ; б) ;
3) . в) ;
  г) ;
  д) .

5. Числовые характеристики матриц:

МАТРИЦА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
1) ; а) 0;
2) ; б) – 60;
3) . в) – 20;
  г) – 18;
  д) 60.

6. Дана матрица :

МИНОР ЗНАЧЕНИЕ
1) ; а) – 9;
2) ; б) 10;
3) ; в) – 20;
4) . г) – 5;
  д) 11;
  е) 9.

7. Дана матрица :

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЕ
1) ; а) – 1;
2) ; б) – 4;
3) ; в) – 6;
4) . г) 2;
  д) 1;
  е) 0.

Укажите правильный вариант ответа:

8. Если матрица А имеет вид

,

то значение выражения равно

Варианты ответов: 1) 8; 2) – 4; 3) 3; 4) – 10; 5) 100.

9. Если определитель матрицы

равен – 11, то положительное значение x равно

Варианты ответов: 1) 4; 2) 8; 3) 2; 4) 6; 5) 13.

10. Наименьшее неотрицательное решение уравнения

равно

Варианты ответов: 1) 1; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 0.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-07-22 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: