Скалярным произведением векторов 
и 
является число, которое находят по формуле:
, (3.8)
если известны длины 
и 
векторов и и величина α угла между ними
или по формуле:
, (3.9)
если известны координаты векторов 
и 
.
Например: 1) Найдем скалярное произведение векторов и , если известно, что 
, 
и 
. Согласно формуле 3.8 запишем: 
.
2) Найдем скалярное произведение векторов 
и 
. Согласно формуле 3.9 запишем:
.
Скалярным квадратом вектора 
называют скалярное произведение вектора на себя:
. (3.10)
Например, найдем скалярный квадрат вектора 
. Так как 
, то 
и 
.
Угол между векторами и 
находят по формуле:
. (3.11)
Пример 4. Найдите внутренний угол С треугольника ABC (рис. 3.12), зная координаты его вершин: 
, 
, 
.
| Решение. 1) Найдем координаты векторов  и  , вычитая из координат концов векторов соответствующие координаты их начал:
 ,  .
| |||
| Рис. 3.12 |
2) По формуле найдем длины векторов и :
,
.
3) По формуле 3.9 найдем скалярное произведение векторов и :
.
4) Согласно формуле 3.11 запишем:
, 
,
откуда 
.
Ответ: 
.
Векторы и перпендикулярны, если угол между ними равен 
. Поскольку 
, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.
Пример 5. Найдите координаты векторов 
и 
, зная, что угол между ними равен .
Решение. Так как векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:
, 
, 
и 
.
Тогда: 
и 
.
Ответ: и .
Если векторы 
и 
образуют угол 
, то проекцию вектора на вектор находят по формуле:
или 
(3.12)
Векторное произведение векторов
Рассмотрим векторы 
и 
.
Векторным произведением векторов и называют третий вектор 
, который перпендикулярен как вектору , так и вектору .
Векторное произведение векторов и находят по формуле:
(3.13)
Площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, находят по формуле:
, (3.14)
Площадь треугольника, построенного на этих же векторах, находят по формуле:
, (3.15)
Пример 6. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках 
, 
и 
.
Решение. 1. Найдем координаты векторов 
и 
. Получим: 
; 
.
2. По формуле 3.13 найдем векторное произведение векторов и :
.
3. По формуле 3.2 найдем модуль вектора 
:
.
4. По формуле 3.15 найдем площадь треугольника: 
.
Ответ: 
.
Смешанное произведение векторов
Рассмотрим векторы , и 
Смешанным произведением этих векторов называют число, которое получено в результате скалярного умножения вектора 
на векторное произведение векторов и .
Смешанное произведение векторов и и 
находят по формуле:
(3.16)
Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и 
, находят по формуле:
. (3.17)
Объем пирамиды, построенной на векторах , и , находят по формуле:
. (3.18)
Пример 7. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и 
.
Решение. 1. Найдем смешанное произведение данных векторов:
.
2. Согласно формуле 3.17 получим: 
.
Ответ: 10.
Контрольный тест 3
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1. Серединой отрезка АВ, если 
и 
, является точка с координатами
Варианты ответов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
2. Длина вектора 
равна
Варианты ответов: 1) 
; 2) 8; 3) 
; 4) 12; 5) 
.
3. Длина вектора 
, если 
, а 
, равна
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 1.
4. Коллинеарными являются векторы 
и 
Варианты ответов: 1) 
и 
;
2) 
и 
; 3) 
и 
;
4) 
и 
; 5) 
и 
.
5. Скалярное произведение векторов
и 
равно
Варианты ответов: 1) 2; 2) 6; 3) 1; 4) 3; 5) 10.
6. Косинус угла между векторами 
и 
равен
Варианты ответов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
7. Проекция вектора 
на вектор 
равна
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
; 3) 5; 4) 30; 5) 
.
8. Если векторы 
и 
перпендикулярны, то значение n равно
Варианты ответов: 1) 5; 2) 8; 3) 1; 4) 0; 5) 7.
9. Площадь треугольника с вершинами в точках 
; 
и 
равна
Варианты ответов: 1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
10. Объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и , равен
Варианты ответов: 1) 35; 2) 20; 3) 8; 4) 10; 5) 16.
ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ