Взаимное расположение прямых в пространстве
Рассмотрим две прямые, записанные в каноническом виде
и 
,
где 
и 
– точки, принадлежащие этим прямым, а 
и 
– направляющие векторы этих прямых.
1. Прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:
. (5.13)
Но направляющие векторы прямых не должны быть параллельны вектору 
.
2. Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы:
(5.14)
3. Если прямые образуют угол 
, то
. (5.15)
4. Прямые скрещиваются, если они лежат в разных плоскостях, то есть векторы 
, 
и 
не компланарны:
. (5.16)
Пример 9. Установите взаимное расположение прямых 
и 
.
Решение. 1. Согласно условию запишем: 
, 
, 
, 
.
2. Выясним, являются ли прямые параллельными: 
. Так как не выполняется условие 5.13, то данные прямые не параллельны.
3. Выясним, являются ли прямые скрещивающимися:
.
Так как выполняется условие 5.16, то данные прямые скрещиваются.
Ответ: прямые скрещиваются.
Пример 10. Найдите угол между прямыми 
и 
.
Решение. 1. Запишем направляющие векторы этих прямых:
и 
.
2. Найдем скалярное произведение направляющих векторов:
.
Так как эти прямые перпендикулярны, то 
.
Ответ: 
.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Рассмотрим прямую 
и плоскость 
.
1. Прямая параллельна плоскости, если
. (5.17)
2. Прямая перпендикулярна плоскости, если
. (5.18)
3. Если прямая образует с плоскостью угол , то
. (5.19)
Пример 11. Найдите значение p, при котором прямая 
параллельна плоскости 
.
Решение. Согласно условию задачи запишем:
, 
, 
, 
, 
, 
.
Подставляя эти значения в формулу 5.17, получим:
, откуда 
.
Ответ: 3.
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки 
до плоскости
с нормальным вектором 
находят по формуле:
. (5.20)
Пример 12. Найдите расстояние между плоскостями 
и 
.
Решение. 1. Данные плоскости параллельны, так как выполняется условие 5.6: 
.
2. Найдем любую точку, принадлежащую первой плоскости. Например, полагая 
, а 
, получим 
.
2. Найдем расстояние от точки 
до плоскости 
. Согласно формуле 5.20 запишем:
.
Ответ: 
.
Контрольный тест 5
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1. Если точка 
принадлежит плоскости
,
а вектор 
– нормальный вектор этой плоскости, то значение D равно
Варианты ответов: 1) 0; 2) 14; 3) – 8; 4) – 24; 5) 24.
2. Если плоскость проходит через точки 
, 
и 
, то сумма координат нормального вектора этой плоскости равна
Варианты ответов: 1) 4; 2) 9; 3) 0; 4) – 4; 5) 17.
3. Если 
– нормальный вектор плоскости 
, а 
– нормальный вектор плоскости 
, то угол между этими плоскостями равен
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
4. Расстояние от точки 
до плоскости 
равно
Варианты ответов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
5. Плоскости 
и 
перпендикулярны при условии, что значение n равно
Варианты ответов: 1) – 2; 2) 1; 3) 0; 4) 4; 5) – 5.
6. Если прямая 
параллельна вектору 
и проходит через точку 
, то значение выражения 
равно
Варианты ответов: 1) 10; 2) 15; 3) – 24; 4) 24; 5) – 6.
7. Если прямая перпендикулярна векторам 
и 
, то она параллельна вектору
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
8. Если точки 
, 
, 
и 
– вершины пирамиды, то абсолютная величина скалярного произведения нормальных векторов граней ABC и ADC равна
Варианты ответов: 1) 3; 2) 0; 3) 1; 4) – 6; 5) 33.
9. Если точки , , и – вершины пирамиды, то угол между гранями ABC и ADC равен
Варианты ответов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
10. Если точки , , и – вершины пирамиды, то прямая AD образует с гранью ABC угол, величина которого равна
Варианты ответов:
1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
ФУНКЦИИ
6.2. Функция: основные понятия и определения
Функцией 
называют такую зависимость переменной 
от переменной 
, при которой каждому допустимому значению 
соответствует единственное значение 
. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, а переменную у – зависимой от х переменной или значением функции.
Например, равенства 
, 
, 
, 
, 
– функции.
Уравнение задает функцию явно, а уравнение 
задает функцию неявно. Чтобы задать функцию явно, необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую.
Например, зададим явно уравнение гиперболы 
, выразив переменную y через переменную x: 
Однако, не всякое равенство, содержащее переменные, является функцией. Например, уравнение окружности 
нельзя считать функцией, так как каждому значению х соответствует два значения у.
Например, если уравнение окружности имеет вид 
, то при 
получим: 
. Однако если рассматривать не всю окружность, а только ее часть, то можно однозначно записать у, как функцию от х. Так, например, если взять часть окружности, расположенную над осью абсцисс, то 
, а если взять часть окружности, расположенную под осью абсцисс, то 
.
Множество всех допустимых значений переменной 
образуют область определения функции. Область определения функции обозначают 
. Множество всех допустимых значений переменной 
образуют область значений функции. Область значений функции обозначают 
.
Например:
1) областью определения функции 
является множество всех действительных чисел и область значений этой функции – множество всех действительных чисел;
2) область определения функции 
составляют числа, принадлежащие промежутку 
, а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку 
.
Графиком функции 
называют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек вида 
. График функции представляет собой некоторую линию на плоскости. Чтобы построить график функции, можно, придавая переменной х любые допустимые значения, найти соответствующие им значения функции и нанести полученные точки на координатную плоскость. Соединив эти точки, получим график функции. При этом построенный таким образом график не всегда правильно отражает функциональную зависимость между переменными. Чтобы построить графическое изображение правильно, необходимо знать вид функциональной зависимости и наносить на координатную плоскость характерные для этой зависимости точки. Если функция сложная, то проводят ее полное исследование.
Функция 
возрастает на промежутке (a; b), если для любых x 1 и x 2, принадлежащих промежутку (a; b), из неравенства 
следует неравенство 
(рис. 6.1).
Функция убывает на промежутке (a; b), если для любых x 1 и x 2, принадлежащих промежутку (a; b), из неравенства 
следует неравенство 
(рис. 6.2).
|
| ||||||||||||||||||
| Рис. 6.1 | Рис. 6.2 |
Функция является монотонной, если она либо только возрастает, либо только убывает на .
Например, функция, график которой изображен на рисунке 6.3, монотонна, так как она возрастает на множестве всех действительных чисел, а функция, график которой изображен на рисунке 6.4, не монотонна, так как на промежутке 
она убывает, а на промежутке 
– возрастает.
|
| |||||||||
| Рис. 6.3 | Рис. 6.4 |
Говорят, что числовое множество симметрично относительно точки 
(начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит только противоположные элементы.
Например, числовые множества 
, 
, 
– симметричные, а множества 
, 
и 
– не симметричные.
Функция является четной, если: – симметричное множество относительно начала отсчета и 
. График четной функции симметричен относительно оси 
.
Функция является нечетной, если: – симметричное множество относительно начала отсчета и 
. График нечетной функции симметричен относительно точки 
.
Например:
1) функция 
четная, так как:
а) 
– симметричное множество относительно начала отсчета;
б) 
;
2) функция 
четная, так как:
а) 
– симметричное множество относительно начала отсчета;
б) 
;
3) функция 
не является четной и не является нечетной, так как 
.
Функция называется периодической, если существует такое число 
, при котором для всех х из области определения функции выполняется равенство 
.
Например, тригонометрические функции 
, 
, 
и 
являются периодическими, так как выполняются равенства: 
, 
, 
и 
, где 
.
Чтобы построить график периодической функции, достаточно построить ее график на основном (наименьшем) периоде T и выполнить параллельный перенос этого графика вдоль оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо.
Например, рассмотрим функцию 
. Заметим, что запись 
обозначает наибольшую целую часть некоторого числа, не превосходящую это число, а запись 
обозначает его дробную часть. Так, например, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Тогда функция является периодической с основным периодом, равным 1. На рисунке 6.5 построен график этой функции на ее основном периоде 
, а на рисунке 6.6 построен график этой функции на нескольких периодах.
|
| ||||||||||||
| Рис. 6.5 | Рис. 6.6 |
Точки пересечения графика функции с осью абсцисс называют нулями функции.
Чтобы найти нули функции необходимо решить уравнение 
.
Например, найдем нули функции 
. Решая уравнение 
, получим 
, 
и 
.
Функция обратима, т. е. имеет обратную функцию 
, если она или монотонно возрастает или монотонно убывает на всей своей области определения.
Функции и образуют пару взаимно обратных функций. Взаимно обратные функции обладают следующими свойствами:
1) область определения функции является областью значений функции , а область значений функции является областью определения функции , т.е. 
, 
;
2) если функция монотонно возрастает (убывает), то и функция возрастает (убывает);
3) графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой 
.
Например, функции 
и 
(рис. 6.7) взаимно обратные, так как формулы и 
выражают одну и ту же функциональную зависимость между переменными. Причем:
а) 
, 
;
б) обе функции монотонно возрастают на всей области их определения;
в) их графики симметричны относительно прямой .
| ||||||||
| Рис. 6.8 |
Чтобы найти функцию обратную функции необходимо решить уравнение относительно переменной х и в этом уравнении заменить х на у, а у заменить на х.
Например, найдем функцию обратную функции . Решим уравнение относительно х, то есть, выразим переменную х явно. Получим: 
, 
и 
. Заменив в этом уравнении х на у, а у на х, запишем: 
. Функции и взаимно обратные.
Рассмотрим две функции 
и 
. Функцию вида 
называют сложной функцией.
Например: 1) если 
, а 
, то 
;
2) если 
, а 
, то 
;
3) если 
, а 
, то 
.
Асимптоты графика функции
Асимптотой линии называют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.
Виды асимптот:
1) вертикальные – параллельные оси Оу;
2) наклонные – пересекающие ось Оу;
3 ) горизонтальные – параллельные оси ОУ.
1. Уравнение вертикальной асимптоты графика функции 
имеет вид 
, при условии, что выполняется хотя бы одно из условий: 
, 
.
2. Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид 
, где
, (6.18)
. (6.19)
3. Если 
, то имеем горизонтальную асимптоту 
.