В учебной программе эта тема в отдельный параграф не выделена, но она является актуальной, т.к. развивает логическое мышление и графическую культуру учащихся. В 1-ой четверти 10 класса эта тема рассматривается в рамках темы «Тригонометрические функции» (Колмогоров), т.к тема изучается раньше производной, то используется следующая схема исследования функций:
1. D;
2. E (если сразу найти нельзя, то ответить на этот вопрос можно в конце);
3. четная / нечетная;
4. периодичность;
5. нули функции (х, при которых f(x) = 0);
6. промежутки знакопостоянства функции;
7. характер монотонности с помощью логических рассуждений;
8. точки экстремума и экстремумы;
9. поведение функции в характерных точках, не входящих в D (в точках разрыва);
10. поведение функции при бесконечно больших по модулю значениях аргумента
(х ® +¥; х ® -¥);
11. наличие асимптот (элем. средствами);
12. построение эскиза графика функции
Определения:
1) D – множество значений аргумента, при которых задана функция.
2) Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна.
на отрезке [1; 8]
Знаменатель растет при росте аргумента Þ функция монотонно убывает.
Значит, у max =1/5 = y(1)
[ 1; 8]
Пр) Исследовать функцию и построить ее график
у = х – 3 + 
1.D(y) =
2.E(y) =
3.функция общего вида
4.непериодическая
5. 
; 
D < 0 Þ нулей нет.
6. f(x) = 
x < 2 Þ f(x) < 0
7.x < 2, x ® 2 Þ f(x) ¯
x > 2, x ® 2 Þ f(x) ¯
8.–
9.x ® 2, x < 2 Þ f(x) ® -¥
x ® 2, x > 2 Þ f(x) ® +¥ Þ x= 2 – вертик асимптота
10, 11. x ® +¥, х – 2® +¥ x ® -¥, х – 2® -¥
х – 3 ® +¥ х – 3 ® -¥
f(x) > x - 3 f(x) < x - 3
(a¹90°)
(парал-мы) (трапеции)
Док-ть: АВ=ВС
Док-ть: АВ=АС
Док-ть: 2АD+2AF=AB+AC
Док-ть: ÐА=Ð D
· Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник:
· Построение правильных многоугольников
· Длина окружности
Теорема: Отношение длины окружности С к ее диаметру D не зависит от окружности.
Þ С=2pR=pD
· Радианная мера угла – отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности: 
· Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника
; 
, S – площадь треугольника, a,b,c – стороны
· Круг – фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного.
Окружность-граница круга.
Теорема: Площадь круга Sкр= 
· Scект.= 
(a-в радианах)
· Sсегм=Sсект-Sтреуг= 
= 
.
Замечание: поскольку материал, связанный с окружностью и кругом, распределен по программе, то целесообразно в конце 9 класса провести обобщенный урок для закрепления знаний учащихся.
3_2
2) a*b=b*a
3) (a+b)*c=ac+bc
Док-во: ac+bc =x1x3+y1y3+x2x3+y2y3=(x1+x2)x3+(y1+y2)y3
(a+b)c =(x1+x2)x3+(y1+y2)y3, след-но (a+b)c=ac+bc.
Решение геом. задач векторным методом состоит в следующем:
1) Условие и требование задачи переводится с геом. языка на векторный.
2) Средствами вект. алгебры условие задачи преобразуется так, чтобы получить соотношение, указанное в требовании задачи.
3) Полученное векторное соотношение истолковывается (интерпретируется) в исходных терминах.
Пр.
Док-ть, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, паралл. основаниям и равен их полуразности.
1) Дано: ◊АBCD, AD = 
* BC, 
- ВС →KN|| BC
│ KN │=│1/2(AD-BC)│=1/2│ AD-BC │=1/2(│ AD│-
│BC │→KN=1/2(AD-BC).
Два вектора коллинеарны, если онилежат на одной прямой или на паралл-х прямых.
a и b наз-ся равными, если 1) a ↑↑ b
2) │ a │=│ b │, (a и b -векторы).
Операции над векторами
1.Сложение векторов.
1) Пр-ло треуг-ка 2) Пр-ло параллелограмма
3) Коммутативность
a + b = b + a сим-ное постр-е пар-ма
4) Ассоциативность
(a + b)+ c = a +(b + c)
2. Вычитание векторов.
Вычесть из a вектор b - значит прибавить к a вектор, противоположный b, т.е. a-b=a+(-b).
3. Умножение вектора на число b=k*a.
1) k*(l* a)=(kl)* a
2) дистрибутивность относит. сложения чисел:
(k+l)* a =k* a +l* a
3) дистрибутивность относит. слож-я векторов:
k*(a + b)=k* a +k* b.
Докажем св-во 3)
1. случай: K>0. Выполним гомотетию (центр О; коэфф.k).
ОА| =k* ОА =k* a; ОВ| =k* ОВ =k* b
OC| = ОА| + ОВ| =k* OA +k* OB =k* a +k* b. (1).
Параллелограммы ОАСВ и ОА|B|C| подобны с коэфф. k, след-но, ∆ОАС~ ∆ОА|С| с коэф. k. по 2-му признаку подобия:
уголО-общий; угол ОАС=углу ОА|С|. Значит, ОС| = k* OC =k*(a + b) (2)
(1) и (2)следует k*(a+b)=k* a +k* b.
2-ой случай k<0. Аналогично.
4. Скалярное умножение:
a*b =│ a││b │*cos угла (a,b). В координатах: a (x1;y1); b =(x2;y2); c =(x3;y3).
a*b =x1*x2+y1*y2; a+b =(x1+x2; y1+y2)
1) a2=│a│2
Два вектора коллинеарны, если онилежат на одной прямой или на паралл-х прямых.
a и b наз-ся равными, если 1) a ↑↑ b
2) │ a │=│ b │, (a и b -векторы).
Операции над векторами
1.Сложение векторов.
1) Пр-ло треуг-ка 2) Пр-ло параллелограмма
3) Коммутативность
a + b = b + a сим-ное постр-е пар-ма
4) Ассоциативность
(a + b)+ c = a +(b + c)
2. Вычитание векторов.
Вычесть из a вектор b - значит прибавить к a вектор, противоположный b, т.е. a-b=a+(-b).
3. Умножение вектора на число b=k*a.
1) k*(l* a)=(kl)* a
2) дистрибутивность относит. сложения чисел:
(k+l)* a =k* a +l* a
3) дистрибутивность относит. слож-я векторов:
k*(a + b)=k* a +k* b.
Докажем св-во 3)
1. случай: K>0. Выполним гомотетию (центр О; коэфф.k).
ОА| =k* ОА =k* a; ОВ| =k* ОВ =k* b
OC| = ОА| + ОВ| =k* OA +k* OB =k* a +k* b. (1).
Параллелограммы ОАСВ и ОА|B|C| подобны с коэфф. k, след-но, ∆ОАС~ ∆ОА|С| с коэф. k. по 2-му признаку подобия:
уголО-общий; угол ОАС=углу ОА|С|. Значит, ОС| = k* OC =k*(a + b) (2)
(1) и (2)следует k*(a+b)=k* a +k* b.
2-ой случай k<0. Аналогично.
1) Дано: ◊АBCD, AD = 
Понятие «ур-е линии» легче всего ввести на примере прямой у=х. Если х=у, то точка принадлежит линии, иначе – нет.
Опр.Урав-м линии в дек-ых корд-х наз-ся уравнение с 2мя переменными f(x,y)=0, удовлетворяющее след.-м условиям:
1) если точка имеет корд-ы, удовлет-е данному ур-ю, то она Î линии; 2) если точка имеет корд., не удовлет-е данному ур-ю, то она Ï линии.
Понятие «ур-ие линии» служит основой для вывода ур-я окруж. и пряиой.
Вывод ур-я окружности.
Опр. Окр-ть – ГМТ, состоящее из всех точек пл-ти, удаленных на зад. расстоянии от фиксир-й точки.
Дано: w(О;R);O(х0;у0). Вывести ур-ие w.
"А(х,у)Îw, если ОА=R. (1)
Запишем (1) в корд-х:
ОА= 
(2)
(2)®(1) и возведем в квадрат:
(х-х0)+(у-у0)=R2. (3)
Получили ур-е с 2мя переем-ми®это ур-е линии.
т.АÎwÞее корд.удовл-т ур-ю (3)
т.N(x1,у1)ÏwÞее корд.не удовл-т ур-ю (3)
(x¢-x0)(y¢-y0)¹R2, т.к. ON¹R.
На основании опред-я «ур-е линии» делаем вывод, что (3)–это ур-е окр-ти с центром в т.О(х0,у0) и радиусом R.
Вопросы на понимание.
1)Как опред-ть,Î ли точка с дан-ми корд. данной линии, заданной ур-ем?
2)Какие данные нужны, чтобы зап-ть ур-е окр-ти?
3)укажите центр и рад-с окр-ти, заданной Ур-ем.
4)прочитать график и написать ур-е окр-ти.
5)изобр-ть окр-ть на корд-й пл-ти.
Пр-р(корд-й метод реш-я задач):
Найти: МА2+МВ2+МС2+MD2–?
М–точка Î окр-ти.
Реш-е: пусть М(х,у). Запишем треб-ие задачи в корд-ах:
МА2+МВ2+МС2+MD2=(-1-х)2+у2+(-1-х)2+(2-у)2+(1-х)2+(2-у)2+(1-х)2+у2=2(х+1)2+2(х-1)2+2(у-2)2+2у2=2х2+4х+2+2х2-4х+2+2у2-8у+8+2у2 = 4х2 + 4у2-8у+12. (1)
Ур-е окр-ти с центром О1(0;1) и радиусом 1: (х-0)2+(у-1)2=1; х2=1-(у-1)2Þх2=2у-у2. (2)
Подставили (2) в (1):
МА2+МВ2+МС2+MD2=4(2у-у2)+4у2-8у+12=12.
Ответ: 12.
– So=1 ед2
Св-ва 1-4 при этом подходе не док-ся, а вводятся как аксиомы.
Этот подход имеет недостаток: понятие площади опирается на понятие квардрир. Фигуры, а оно, в свою очередь, на понятие площади фигуры.
Полная формулировка понятие площади:
1)Площадь определяется как фун-я, обладающая св-вами 1-4 для многоугольной фигуры.
2)Определяется класс квадрир.фигур
3)Площадь – фун-я со св-вами 1-4 на классе квадрир. Ф-р.
При аксиоматич. подходе нужно док-ть теорему: Ф-ция со св-ваи 1-4 сущ-ет и единственна.
Все остальные св-ва площади док-ся на основе определения.
ПР:Если фигура Q содержится в фигуре R, то площадь Q меньше площади R, т.е. QÌRÞS(Q)<S(R) – св-во монотонности.
2.
Док-ть:
l || AB;
SAC1B=SAC2B=SAC3B=…
Площ-дь круга. Чтобы выч-ть S круга, нужно допол-ть опред-е S фиг-ры. Фиг-ра Ф имеет пл-дь S, если $ сод-щие ее прост-е фигуры и сод-иеся в ней простые фигуры с площ-ми, как угодно мало отлич-ся от S.
Если n®¥, p®C=2pR; 
Значит, S1®pR2; S2®pR2;
По введённому определению площади получаем, что площадь круга Sкр=pR2
Площадь сектора
